1.09 Прямоугольник и его свойства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагонали и
прямоугольника
пересекаются в точке
Найдите
если
Источники:
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть
Тогда длина диагонали равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагональ прямоугольника образует угол с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого
прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Источники:
Так как — прямоугольник, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам:
Значит, треугольник — равнобедренный и
Тогда один из углов между диагоналями равен
При этом другой угол между диагоналями равен
Таким образом, острый угол между диагоналями равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
— точка пересечения диагоналей прямоугольника
Найдите
Ответ дайте в градусах.
В прямоугольнике диагонали пересекаются, точкой пересечения делятся пополам и равны, тогда следовательно,
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка делит сторону
прямоугольника
на отрезки 7 и 1, а расстояние от точки
до стороны
равно 3.
Найдите периметр прямоугольника.
Расстояние от точки до стороны
совпадает с длиной смежных сторон к
тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр прямоугольника равен 26, а его площадь равна 40. Найдите разность большей и меньшей сторон этого
прямоугольника.
Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны.
Обозначим длину прямоугольника за а его ширину за
тогда
Решим второе уравнение системы:
При получаем
но
тогда
и разность большей и меньшей сторон равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр прямоугольника равен 42, при этом
Найдите площадь треугольника
Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны. Тогда имеем:
Тогда значит,
Треугольники и
равны по двум катетам, тогда их площади равны. Следовательно, площадь треугольника
равна половине площади прямоугольника
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка лежит на стороне
прямоугольника
Площадь треугольника
равна 3. Найдите площадь
прямоугольника
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Пусть — высота, опущенная из точки
на
тогда имеем:
Пусть эта высота пересекает в точке
тогда
— параллелограмм, так как
Значит, и площадь прямоугольника
равна
Тогда искомая площадь в 2 раза больше, чем площадь
треугольника
и равна 6.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр прямоугольника относится к периметру треугольника
как
Найдите периметр
если
С другой стороны
откуда находим .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите периметр четырехугольника с вершинами в серединах сторон прямоугольника с диагональю, равной 8.
Пусть , в прямоугольнике все углы прямые, тогда по теореме Пифагора:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольнике диагональ
Найдите разность
Ответ дайте в градусах.
Треугольник — прямоугольный, причём в нём катет равен половине гипотенузы, значит этот катет лежит против угла в
,
то есть
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Площадь прямоугольника равна . Найдите наименьшую из площадей треугольников, образующихся
при пересечении диагоналей данного прямоугольника.
Диагонали разобьют прямоугольник на 4 равных по площади треугольника.
Действительно, т.к. то и их площади равны. Так как медиана делит треугольник на два треугольника, равных
по площади, то
Площадь каждого треугольника равна 4.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно 2,5. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольник Пусть
— точка пересечения диагоналей,
— расстояние от точки
до большей
стороны.
Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то Следовательно,
как прямоугольные по катету и гипотенузе. Следовательно,
Таким образом,
— средняя линия в
равная половине