1.17 Окружность: описанная около многоугольника

Рассмотрим картинку:

Докажем, что данный четырехугольник является квадратом.

Т.к. хорды и равны, то равны дуги и Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:

Таким образом, — накрест лежащие при прямых и и секущей , следовательно,

Аналогичным образом доказывается, что

Таким образом, — параллелограмм. Т.к. он вписанный, то это — прямоугольник. Т.к. все его стороны равны, то это квадрат.

В квадрате центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей, следовательно, По свойству квадрата Следовательно, площадь

Замечание.

Можно было доказать, что — квадрат, другим способом:

по трем сторонам. Следовательно, Но т.к. четырехугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна следовательно, Отсюда следует, что Аналогично По признаку четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Но т.к. у него еще и все стороны равны, то это квадрат.