Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.14 Окружность: центральный и вписанный углы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#223

Точки $A,$ $B,$ $C$ и $D$ лежат на окружности с центром в точке $O$ (так, что $ABCD$ — четырёхугольник). Длина дуги $AD$ (которая меньше полуокружности) составляет $0,8$ длины дуги $AB$ (которая меньше полуокружности). Найдите, во сколько раз $∠AOB$ больше, чем $∠DCA.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Градусные меры дуг окружности относятся как их длины, тогда градусная мера дуги $AB$ в $1 :0,8 = 1,25$ раз больше, чем градусная мера дуги $AD.$

Градусной мерой дуги называется градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, тогда

∠AOB--= --⌣-AB---= 2⋅ ⌣-AB-= 2,5 ∠DCA 0,5 ⌣ AD ⌣ AD

Ответ: 2,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#228

Хорды $AB$ и $CD$ равны. Найдите разность градусных мер дуг $AB$ и $CD,$ которые меньше полуокружности. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Равные хорды стягивают равные дуги. Покажем это: Построим радиусы $OA,$ $OB,$ $OC,$ $OD.$

$PIC$

Треугольники $AOB$ и $COD$ равны по трём сторонам, тогда $∠AOB = ∠COD$ и, значит, дуга $AB$ (которая меньше полуокружности) равна дуге $CD$ (которая меньше полуокружности). Тогда разность градусных мер этих дуг равна $0∘.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#696

Точки $A$ и $B$ делят окружность на две дуги, одна из которых равна $170∘,$ а другая точкой $K$ делится в отношении $11:8,$ считая от точки $A.$ Найдите $∠BAK.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. $⌣ ⌣ AK: KB= 11 :8,$ то можно обозначить $⌣ ⌣ AK= 11x,KB= 8x.$

Дуга $A⌣KB$ равна $360∘− 170∘ = 190∘.$

Следовательно,

∘ ∘ 11x+ 8x= 19x= 190 ⇒ x= 10

Значит, дуга $⌣ KB= 8x= 80∘.$ Угол $BAK$ вписанный и опирается на эту дугу, следовательно, он равен ее половине, то есть $40∘.$

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#697

На окружности в следующем порядке отмечены четыре точки: $A,$ $B,$ $C$ и $D,$ причем $AB = BC, CD =DA.$ Найдите угол $BAD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. треугольники $BAC$ и $DAC$ — равнобедренные, то $∠BAC = ∠BCA, ∠DAC = ∠DCA.$ Таким образом, $∠A = ∠C.$

Т.к. $∠A, ∠C$ — вписанные, то

∠A +∠C = 1(DC⌣B + D⌣AB ) 2

Заметим, что эти дуги в сумме дают всю окружность, то есть $360∘.$ Следовательно, $∠A +∠C =180∘,$ следовательно, $∠A = ∠C = 90∘.$

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#698

На рисунке $O$ — центр окружности, $AO = OB =BC = CA.$ Найдите угол $ADC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Четырехугольник, все стороны которого равны, является ромбом. Следовательно, $AOBC$ — ромб. Значит, диагонали делят его углы пополам. Следовательно,

∠AOC = ∠BOC =∠ACO = ∠BCO = x

Следовательно, $A⌣C= ⌣CB= x$ (т.к. на них опираются центральные углы $AOC$ и $BOC,$ равные этим дугам), $A⌣D= D⌣B= 2x$ (т.к. на них опираются вписанные углы $ACD$ и $BCD$ , равные половинам этих дуг).

$PIC$

Т.к. вся окружность равна $∘ 360 ,$ то

x+ x+ 2x+ 2x= 360∘ ⇒ x =60∘

Угол $ADC$ — вписанный и опирающийся на дугу $⌣ AC,$ следовательно, он равен ее половине, то есть $∘ 30 .$

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#702

Из точки $A$ на окружности проведены две прямые, пересекающие повторно окружность в точках $B$ и $C,$ причем оказалось, что $AC$ — диаметр, равный 10. Найдите длину отрезка $AB,$ если угол между этими прямыми равен $60∘.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Рассмотрим треугольник $ABC :$ он прямоугольный ( $∠B = 90∘,$ т.к. опирается на диаметр), следовательно,

∠C = 90∘− ∠A = 30∘

Катет $AB,$ лежащий против угла $30∘,$ равен половине гипотенузы $AC,$ то есть равен $5.$

Ответ: 5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1137

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим хорду за $AB.$ Рассмотрим треугольник $AOB,$ где $O$ — центр окружности.

$PIC$

Так как $AB$ равна радиусу окружности, то треугольник $AOB$ — равносторонний. Следовательно, $∠AOB = 60∘.$

Следовательно, меньшая дуга $AB$ окружности равна $∠AOB = 60∘.$ Тогда большая дуга $AB$ окружности равна

360∘− 60∘ =300∘

Заметим, что $∠ACB$ — вписанный угол, опирающийся на большую дугу $AB,$ следовательно, он равен ее половине, то есть $∠ACB = 150∘.$

Ответ: 150

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1138

Дуга окружности $AC,$ не содержащая точки $B,$ имеет градусную меру $200∘,$ а дуга окружности $BC,$ не содержащая точки $A,$ имеет градусную меру $80∘.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как градусная мера всей окружности равна $360∘,$ то дуга $AB,$ не содержащая точки $C,$ равна

∘ ∘ ∘ ∘ 360 − 200 − 80 = 80

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то $∠ACB$ равен $40∘.$

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1139

Хорда $AB$ делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как $5 :7.$ Под каким углом видна эта хорда из точки $C,$ принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как градусные меры дуг относятся как $5 :7,$ то можно ввести обозначения: $5x$ — градусная мера меньшей дуги, $7x$ — большей. Тогда $5x + 7x = 360∘,$ откуда $x= 30∘.$

Нужно найти $∠ACB.$ Он является вписанным и равен половине большей дуги, следовательно, равен $0,5⋅7x,$ или $105∘.$

Ответ: 105

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1140

В окружности с центром $O$ $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $110∘.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $BD$ — диаметр, то $∠BOD = 180∘,$ следовательно,

∘ ∘ ∠AOB = 180 − ∠AOD = 70

$∠AOB$ и $∠ACB$ — центральный и вписанный углы соответственно, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно,

∘ ∠ACB =∠AOB :2 =35

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1549

Хорды окружности $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E,$ причём $CE = AE.$ Градусная мера дуги $AC$ равна $120∘,$ градусная мера дуги $CAD$ равна $210∘.$ Найдите градусную меру дуги $BD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Градусная мера дуги $DA$ равна

∘ ∘ ∘ 210 − 120 = 90

Соединим $CA.$

$PIC$

Треугольник $AEC$ — равнобедренный, тогда $∠DCA = ∠BAC,$ тогда дуги, на которые опираются эти вписанные углы, равны, следовательно градусная мера дуги $BC$ равна $∘ 90 .$

Градусная мера дуги $BD$ равна

360∘− 120∘ − 90∘− 90∘ = 60∘

Ответ: 60

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1550

Хорда $CD$ перпендикулярна диаметру $AB.$ Найдите разность градусных мер дуг $AC$ и $AD$ (тех, которые меньше полуокружности). Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Построим отрезки $CA,$ $AD$ и $CB,$ точку пересечения $CD$ и $AB$ обозначим $E.$

$PIC$

$∠BCD = ∠BAD$ как вписанные, опирающиеся на общую дугу. Так как $AB$ — диаметр, то $∠BCA = 90∘.$

Тогда $∠BCD$ дополняет $∠DCA$ до $90∘,$ а $∠BAD$ дополняет $∠CDA$ до $90∘$ и из равенства $∠BCD = ∠BAD$ вытекает $∠DCA = ∠CDA,$ следовательно, дуги $AC$ и $AD$ равны.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1552

Отрезок $AC$ — диаметр окружности с центром в точке $O.$ Найдите $∠ABC,$ если точка $B$ лежит на окружности. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию $∠ABC$ — вписанный. Вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается.

Градусная мера дуги есть градусная мера центрального угла, который на неё опирается. Тогда градусная мера дуги $AC$ равна $180∘$ и $∠ABC = 90∘.$

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1990

Точки $A$ и $C$ разбивают окружность на две дуги, одна из которых равна $280∘$ и на которой отмечена точка $B.$ Найдите угол $BAC,$ если $AB = AC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$A⌣BC= 280∘,$ следовательно, меньшая дуга

⌣ AC= 360∘− 280∘ = 80∘

Т.к. угол $ABC$ опирается на эту дугу и является вписанным, то он равен ее половине, то есть $∘ 40 .$

Заметим, что треугольник $ABC$ — равнобедренный, следовательно,

∠BAC = 180∘− 2 ⋅40∘ = 100∘

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1992

Хорды $KN$ и $LM$ некоторой окружности пересекаются и взаимно перпендикулярны. Найдите угол $NLM,$ если угол $KML$ равен $35∘.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Вписанные углы $KML$ и $KNL$ опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны:

∘ ∠KNL =∠KML = 35

$PIC$

Тогда имеем:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠NLM = 180 − 90 − 35 =55

Ответ: 55

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2481

Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим хорду за $AB.$ Рассмотрим треугольник $AOB,$ где $O$ — центр окружности. Так как отрезок $AB$ равен радиусу окружности, то треугольник $AOB$ — равносторонний. Следовательно, $∠AOB = 60∘.$

$PIC$

Заметим, что $∠AOB$ и $∠ACB$ — центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно,

∘ ∠ACB = 0,5∠AOB = 30

Ответ: 30

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2482

Точки $A, B, C,$ расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как $1:3 :5.$ Найдите больший угол треугольника $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим градусные меры дуг $AB = x,$ $BC = 3x,$ $AC = 5x.$ Так как градусная мера всей окружности равна $360∘,$ то

∘ ∘ x +3x + 5x = 360 ⇒ x = 40

Из вписанных углов $∠ABC,$ $∠ACB$ и $∠BAC$ большим будет тот, который опирается на большую дугу $AC,$ равную $5 ⋅40∘ = 200∘.$

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то $∠ABC = 100∘.$

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2483

Дана окружность с центром $O$ и диаметрами $AC$ и $BD.$ Угол $ACB$ равен $38∘.$ Найдите угол $AOD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $∠ACB$ — вписанный, то центральный угол $AOB,$ который опирается на ту же дугу, в два раза больше:

∘ ∘ ∠AOB = 2⋅38 = 76

Так как $BD$ — диаметр, то угол $BOD$ — развернутый и равен $180∘,$ следовательно,

∘ ∘ ∠AOD =180 − ∠AOB = 104

Ответ: 104

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2778

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $1 5$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как длина меньшей дуги $AC$ равна $1 5$ длины окружности, то и ее градусная мера равна $1 5$ градусной меры окружности, то есть равна

1⋅360∘ = 72∘ 5

Угол $ABC$ — вписанный, опирающийся на меньшую дугу $AC,$ следовательно, равен ее половине, то есть $36∘.$

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#15799

В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $∘ 24 .$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Угол $ACB$ опирается на дугу $AB,$ значит, он равен половине центрального угла $AOB.$ Углы $AOB$ и $AOD$ — смежные, поэтому $∠AOB = 180∘− ∠AOD.$ Тогда мы можем найти $∠ACB :$

1 1 ∘ ∠ACB = 2∠AOB = 2(180 − ∠AOD )= 1 ∘ ∘ 1 ∘ ∘ = 2(180 − 24 )= 2 ⋅156 = 78

Ответ: 78

Предыдущий раздел

Следующий раздел