1.14 Окружность: центральный и вписанный углы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки
и
лежат на окружности с центром в точке
(так, что
— четырёхугольник). Длина дуги
(которая меньше полуокружности) составляет
длины дуги
(которая меньше полуокружности). Найдите, во сколько раз
больше, чем
Градусные меры дуг окружности относятся как их длины, тогда градусная мера дуги в
раз больше, чем
градусная мера дуги
Градусной мерой дуги называется градусная мера центрального угла, который на неё опирается.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Хорды и
равны. Найдите разность градусных мер дуг
и
которые меньше полуокружности. Ответ дайте в
градусах.
Равные хорды стягивают равные дуги. Покажем это: Построим радиусы
Треугольники и
равны по трём сторонам, тогда
и, значит, дуга
(которая меньше
полуокружности) равна дуге
(которая меньше полуокружности). Тогда разность градусных мер этих дуг равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и
делят окружность на две дуги, одна из которых равна
а другая точкой
делится в отношении
считая от точки
Найдите
Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Т.к. то можно обозначить
Дуга равна
Следовательно,
Значит, дуга Угол
вписанный и опирается на эту дугу, следовательно, он равен ее половине, то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На окружности в следующем порядке отмечены четыре точки:
и
причем
Найдите угол
Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Т.к. треугольники и
— равнобедренные, то
Таким образом,
Т.к. — вписанные, то
Заметим, что эти дуги в сумме дают всю окружность, то есть Следовательно,
следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На рисунке — центр окружности,
Найдите угол
Ответ дайте в градусах.
Четырехугольник, все стороны которого равны, является ромбом. Следовательно, — ромб. Значит, диагонали делят его
углы пополам. Следовательно,
Следовательно, (т.к. на них опираются центральные углы
и
равные этим дугам),
(т.к. на них опираются вписанные углы
и
, равные половинам этих дуг).
Т.к. вся окружность равна то
Угол — вписанный и опирающийся на дугу
следовательно, он равен ее половине, то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из точки на окружности проведены две прямые, пересекающие повторно окружность в точках
и
причем
оказалось, что
— диаметр, равный 10. Найдите длину отрезка
если угол между этими прямыми равен
Рассмотрим картинку:
Рассмотрим треугольник он прямоугольный (
т.к. опирается на диаметр), следовательно,
Катет лежащий против угла
равен половине гипотенузы
то есть равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
Обозначим хорду за Рассмотрим треугольник
где
— центр окружности.
Так как равна радиусу окружности, то треугольник
— равносторонний. Следовательно,
Следовательно, меньшая дуга окружности равна
Тогда большая дуга
окружности
равна
Заметим, что — вписанный угол, опирающийся на большую дугу
следовательно, он равен ее половине, то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дуга окружности не содержащая точки
имеет градусную меру
а дуга окружности
не содержащая точки
имеет градусную меру
Найдите вписанный угол
Ответ дайте в градусах.
Так как градусная мера всей окружности равна то дуга
не содержащая точки
равна
Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Хорда делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как
Под каким углом видна эта хорда из
точки
принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Так как градусные меры дуг относятся как то можно ввести обозначения:
— градусная мера меньшей дуги,
—
большей. Тогда
откуда
Нужно найти Он является вписанным и равен половине большей дуги, следовательно, равен
или
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В окружности с центром
и
— диаметры. Центральный угол
равен
Найдите вписанный угол
Ответ дайте в градусах.
Так как — диаметр, то
следовательно,
и
— центральный и вписанный углы соответственно, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Хорды окружности и
пересекаются в точке
причём
Градусная мера дуги
равна
градусная
мера дуги
равна
Найдите градусную меру дуги
Ответ дайте в градусах.
Градусная мера дуги равна
Соединим
Треугольник — равнобедренный, тогда
тогда дуги, на которые опираются эти вписанные углы, равны,
следовательно градусная мера дуги
равна
Градусная мера дуги равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Хорда перпендикулярна диаметру
Найдите разность градусных мер дуг
и
(тех, которые меньше
полуокружности). Ответ дайте в градусах.
Построим отрезки
и
точку пересечения
и
обозначим
как вписанные, опирающиеся на общую дугу. Так как
— диаметр, то
Тогда дополняет
до
а
дополняет
до
и из равенства
вытекает
следовательно, дуги
и
равны.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Отрезок — диаметр окружности с центром в точке
Найдите
если точка
лежит на окружности. Ответ дайте в
градусах.
По условию — вписанный. Вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается.
Градусная мера дуги есть градусная мера центрального угла, который на неё опирается. Тогда градусная мера дуги равна
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и
разбивают окружность на две дуги, одна из которых равна
и на которой отмечена точка
Найдите угол
если
Ответ дайте в градусах.
следовательно, меньшая дуга
Т.к. угол опирается на эту дугу и является вписанным, то он равен ее половине, то есть
Заметим, что треугольник — равнобедренный, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Хорды и
некоторой окружности пересекаются и взаимно перпендикулярны. Найдите угол
если угол
равен
Ответ дайте в градусах.
Вписанные углы и
опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны:
Тогда имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности. Ответ дайте в градусах.
Обозначим хорду за Рассмотрим треугольник
где
— центр окружности. Так как отрезок
равен радиусу
окружности, то треугольник
— равносторонний. Следовательно,
Заметим, что и
— центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как
Найдите
больший угол треугольника
Ответ дайте в градусах.
Обозначим градусные меры дуг
Так как градусная мера всей окружности равна
то
Из вписанных углов
и
большим будет тот, который опирается на большую дугу
равную
Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана окружность с центром и диаметрами
и
Угол
равен
Найдите угол
Ответ дайте в
градусах.
Так как — вписанный, то центральный угол
который опирается на ту же дугу, в два раза больше:
Так как — диаметр, то угол
— развернутый и равен
следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Так как длина меньшей дуги равна
длины окружности, то и ее градусная мера равна
градусной меры окружности, то
есть равна
Угол — вписанный, опирающийся на меньшую дугу
следовательно, равен ее половине, то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В окружности с центром отрезки
и
— диаметры. Центральный угол
равен
Найдите вписанный угол
Ответ дайте в градусах.
Угол опирается на дугу
значит, он равен половине центрального угла
Углы
и
— смежные,
поэтому
Тогда мы можем найти