1.15 Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
— диаметр окружности, который пересекает хорду
в точке
Градусная мера дуги
равна
а градусная мера
дуги
равна
Найдите
Ответ дайте в градусах.
Построим диаметр Пусть
— центр окружности, тогда
Так как градусная мера дуги равна
а
— диаметр, то градусная мера дуги
равна
Вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается, тогда
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки
и
угла
лежат на окружности. Дуга
заключённая внутри этого угла, равна
а дуга
заключённая внутри этого угла, равна
Найдите величину угла
Ответ дайте в градусах.
Так как равен полуразности дуг
и
заключённых внутри него, то имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Хорды и
пересекаются в точке
Дуга
заключённая внутри угла
равна
а дуга
заключённая
внутри угла
равна
Найдите
Ответ дайте в градусах.
Угол между хордами окружности равен полусумме градусных мер дуг, заключённых между ними. Покажем это подробнее.
Соединим точки и
Так как — внешний в треугольнике
то
Тогда имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
и
касаются окружности с центром
Найдите
Ответ дайте в градусах.
— биссектриса
Покажем это. Построим радиусы
и
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно — точка внутри угла
равноудалённая от его сторон. Тогда
лежит на биссектрисе этого угла (это можно показать через равенство треугольников
и
).
В данной задаче тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и
треугольника
лежат на окружности с центром в точке
— вторая точка
пересечения
с окружностью,
— вторая точка пересечения
с окружностью. Известно, что
дуги
и
равны,
Найдите
Ответ дайте в градусах.
Равные дуги стягивают равные хорды: Покажем это.
Построим радиусы и
Так как дуги и
равны, то их градусные меры совпадают, тогда
как центральные углы,
опирающиеся на равные дуги.
как радиусы, тогда треугольники
и
равны по двум сторонам и
углу между ними, следовательно,
тогда треугольник
— равнобедренный и
значит
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая касается окружности в точке
На окружности отмечена точка
так, что
и
Найдите
центральный угол, опирающийся на меньшую дугу
Ответ дайте в градусах.
Треугольник — равнобедренный и прямоугольный, следовательно,
Т.к. угол между касательной
и хордой
равен половине дуги
заключенной между ними, то
Тогда центральный угол
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая касается окружности в точке
. На окружности отмечена точка
так, что
и
Найдите
центральный угол, опирающийся на меньшую дугу
Ответ дайте в градусах.
Треугольник — прямоугольный, причем, т.к.
то
Т.к. угол между касательной и хордой
равен половине дуги
заключенной между ними, то
Тогда
центральный угол
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из точки вне окружности проведены две секущие к окружности, угол между которыми равен
Первая секущая пересекла
окружность в точках
и
вторая — в точках
и
причем
и дуга
меньшая полуокружности,
равна
Найдите меньшую из дуг, заключенных между данными секущими.
Рассмотрим картинку:
Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то
Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то (меньшая полуокружности) дуга Вся окружность равна
следовательно,
Решая систему из уравнений и
получим, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Угол равен
Градусная мера дуги
окружности, не содержащей точек
и
равна
Найдите угол
Ответ дайте в градусах.
Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то
Так как то имеем:
Тогда вписанный и опирается на дугу
то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая касается окружности в точке
и образует с хордой
угол, равный
Найдите градусную меру дуги
которая меньше полуокружности. Ответ дайте в градусах.
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри него, следовательно
градусная мера искомой дуги равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
— диаметр окружности с центром в точке
— хорда, пересекающая
в точке
причём
Найдите
Ответ дайте в градусах.
Хорда, делящаяся диаметром пополам, перпендикулярна ему. Покажем это . Построим радиусы и
Треугольники и
равны по трём сторонам, тогда
но
откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
касается окружности в точке
касается окружности в точке
Найдите
Ответ дайте в
градусах.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: Покажем это: Построим радиусы
и
и соединим
Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то
как
радиусы, тогда в прямоугольных треугольниках
и
катеты
и
равны, а гипотенуза
— общая,
следовательно, треугольники
и
равны по катету и гипотенузе, откуда получаем
Таким образом, треугольник — равнобедренный и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Секущая пересекает окружность и диаметр
так, как показано на рисунке.
Меньшая дуга равна
прямая
параллельна прямой
Найдите угол
Ответ дайте в
градусах.
Рассмотрим картинку:
Т.к. то
как вписанный и опирающийся на дугу
равен ее половине, то есть
опирается на диаметр
следовательно, равен половине от половины окружности, то есть
Значит,
— внешний угол для треугольника
следовательно, он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с
ним:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите угол между двумя секущими, проведенными к окружности из точки вне окружности, если дуги, заключенные между
этими секущими, равны
и
Ответ дайте в градусах.
Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из точки вне окружности проведены две прямые, пересекающие окружность. Большая дуга, образованная этими прямыми,
равна
а угол между прямыми равен
Найдите другую дугу, образованную этими прямыми. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Т.к. угол, образованный двумя такими прямыми-секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Угол между двумя секущими, проведенными к окружности из точки вне окружности, равен
Найдите большую дугу,
заключенную между секущими, если сумма градусных мер обеих дуг, заключенных между секущими, равна
Ответ дайте в
градусах.
Так как угол, образованный двумя секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то
С другой стороны, по условию имеем:
Решая систему из двух уравнений, находим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На рисунке диаметр пересекает хорду
и делит ее пополам, а также пересекает хорду
Дуга
меньшая
полуокружности, равна
дуга
меньшая полуокружности, равна
Найдите угол между прямыми и
Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Т.к. диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен ей, то Следовательно,
как
прямоугольные по двум катетам (
— общий). Следовательно,
Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то
Тогда угол между хордами и
равен полусумме дуг, заключенных между ними, то есть
Т.к. нам необходимо найти угол между прямыми (а это обязательно острый угол), то в данном случае он равен углу между данными хордами.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из точки вне окружности проведены две касательные
и
Через произвольную точку
на окружности проведена
касательная к окружности, пересекающая
и
в точках
и
соответственно. Найдите угол
если
Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку (пусть — точки касания):
Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то и
Т.к. радиусы, проведенные в точку
касания, перпендикулярны касательной, то
Таким образом, по двум катетам равны треугольники: и
Значит, и
Следовательно,
Т.к. в четырехугольнике сумма углов равна то в четырехугольнике
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– касательная к окружности, причем
– точка касания. На окружности на одинаковом
расстоянии от точки
отмечены точки
и
, причем дуга
, не проходящая через точку
,
равна
. Найдите угол
, если
. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Т.к. дуги, стягиваемые равными хордами, равны, то Т.к. вся окружность равна
, то
Угол образованный касательной
и хордой
равен половине дуги, заключенной между ними, то
есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Касательные и
к окружности образуют угол
равный
Найдите величину меньшей дуги
стягиваемой
точками касания. Ответ дайте в градусах.
Пусть — центр окружности. Проведем радиусы
и
Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен
касательной, то
Заметим, что
— четырехугольник. Так как сумма углов четырехугольника равна
то
— центральный угол, опирающийся на дугу
следовательно,