3.15 Комбинированные тела: их объемы и площади поверхностей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Песочные часы состоят из двух одинаковых усеченных конусов, плоскости оснований которых
параллельны. Высота песочных часов . Радиус окружности, являющейся пересечением боковых
поверхностей конусов, равен . Тангенс половины угла раствора каждого конуса равен . Найдите
объем песочных часов , умноженный на .
Выберем какое-нибудь сечение конусов плоскостью , проходящей через их общую ось
вращения.
На рисунке в плоскости : – ось вращения конусов, отрезок совпадает с высотой песочных часов и равен . Отрезки и являются радиусами окружности, лежащей в верхнем основании фигуры, а отрезки и являются радиусами окружности пересечения конусов, поэтому . Угол раствора конуса делится пополам осью вращения на равные углы и , поэтому . Рассмотрим и . Плоскости оснований конусов и плоскость, содержащая окружность пересечения конусов, параллельны друг другу рассматриваемая плоскость сечения будет пересекать эти плоскости по прямым, параллельным друг другу и подобны друг другу . Ось вращения перпендикулярна плоскостям оснований и плоскости пересечения конусов и – прямоугольные треугольники. Т.к. ; .
Объем усеченного конуса можно посчитать как разность объемов конуса и конуса :
Объем песочных часов складывается из двух объемов усеченного конуса, т.к. ситуация с нижним конусом полностью аналогична ситуации с верхним конусом в силу симметрии задачи, поэтому их объемы совпадают объем песочных часов равен . Окончательно, после умножения на получаем:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!