3.15 Комбинированные тела: их объемы и площади поверхностей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника
прямые).
Заметим, что можно разбить данный многогранник на два непересекающихся прямоугольных
параллелепипеда и
:
Тогда объем первого параллелепипеда будет равен , а объем второго
.
Следовательно, объем всего многогранника будет равен
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите объём фигуры, получившейся после удаления маленького прямоугольного параллелепипеда из
большого.
Объём оставшейся фигуры равен разности объёмов большого прямоугольного параллелепипеда (каким он был до удаления) и маленького (удалённого).
Таким образом, искомый объём равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верхняя грань куба является основанием пирамиды, высота которой равна . Найдите площадь
поверхности фигуры, если сторона квадрата равна
.
Найдем сперва апофему пирамиды из прямоугольного треугольника, в котором она является
гипотенузой, а катеты – это высота пирамиды
и половина стороны квадрата
:
. Площадь боковой грани пирамиды:
. Площадь грани
куба:
. Площадь поверхности фигуры состоит из пяти граней куба и четырех боковых граней
пирамиды:
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан куб . Точка
лежит на продолжении ребра
за точку
,
. Во сколько раз объем куба отличается от объема пирамиды
?
Отрезок является высотой пирамиды. Если сторону куба обозначить за
, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Песочные часы состоят из двух одинаковых усеченных конусов, плоскости оснований которых
параллельны. Высота песочных часов . Радиус окружности, являющейся пересечением боковых
поверхностей конусов, равен
. Тангенс половины угла раствора каждого конуса равен
. Найдите
объем песочных часов
, умноженный на
.
Выберем какое-нибудь сечение конусов плоскостью , проходящей через их общую ось
вращения.
На рисунке в плоскости :
– ось вращения конусов, отрезок
совпадает с высотой
песочных часов и равен
. Отрезки
и
являются радиусами окружности, лежащей в
верхнем основании фигуры, а отрезки
и
являются радиусами окружности пересечения
конусов, поэтому
. Угол раствора конуса
делится пополам осью вращения на
равные углы
и
, поэтому
. Рассмотрим
и
.
Плоскости оснований конусов и плоскость, содержащая окружность пересечения конусов, параллельны
друг другу
рассматриваемая плоскость сечения
будет пересекать эти плоскости по прямым,
параллельным друг другу
и
подобны друг другу
.
Ось вращения перпендикулярна плоскостям оснований и плоскости пересечения конусов
и
– прямоугольные треугольники. Т.к.
;
.
Объем усеченного конуса можно посчитать как разность объемов конуса
и
конуса
:
Объем песочных часов складывается из двух объемов усеченного конуса, т.к. ситуация с нижним
конусом полностью аналогична ситуации с верхним конусом в силу симметрии задачи, поэтому их
объемы совпадают объем песочных часов равен
. Окончательно, после умножения
на
получаем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка – середина оси цилиндра, высота которого
. Точка
лежит на основании цилиндра (с
центром
и радиусом
), причём угол между
и плоскостью основания равен
, Объём
заштрихованной области
![PIC](/api/latex-service/v1/GetSession/5557/B_8_16_1.png)
Рассмотрим прямоугольный треугольник :
,
,
, тогда
, откуда
;
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,6 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.
Площадь поверхности равна сумме четырёх «внешних» вертикальных граней, четырёх «внутренних» вертикальных граней и оставшихся после выреза частей двух горизонтальных граней. Тогда имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдем площадь поверхности большого прямоугольного параллелепипеда. Он имеет две грани с площадью две грани с
площадью
и две грани с площадью
Следовательно, площадь его поверхности равна
Из этого параллелепипеда вырезали прямоугольный параллелепипед с ребрами 1, 1 и 2. В результате этого площадь боковой
поверхности уменьшилась на и увеличилась на
Следовательно, площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке, равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,6 и боковым ребром 1. При этом центры нижних оснований призмы и куба совпадают. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.
Сначала вычислим площадь поверхности куба с ребром 1. Если
—
площадь одной грани куба, то
.
Найдем и вычтем площади верхнего и нижнего оснований призмы:
Найдем и прибавим площади боковых граней призмы:
Тогда площадь поверхности оставшейся части куба равна 7,68.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите объём многогранника (все углы прямые), изображенного на рисунке.
Найдём объём многогранника как разность объёмов большого параллелепипеда
(с высотой 6) и суммы объёмов двух маленьких параллелепипедов (с высотами
и 1):