Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На серединах сторон
и
треугольника
с тупым углом
отмечены точки
и
соответственно.
a) Докажите, что окружность, описанная около треугольника
проходит через отличную от
точку пересечения описанных окружностей
треугольников
и
б) Известно, что и
Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника с вершинами в центрах вписанных окружностей
треугольников
и
Источники:
а) Пусть — отличная от
точка пересечения окружностей, описанных около
треугольников
и
Тогда имеем:
Тогда
Значит, в четырехугольнике
Таким образом, сумма противоположных углов четырехугольника
равна
следовательно, он вписанный. Значит, описанная окружность
треугольника
проходит через точку
пересечения описанных
окружностей треугольников
и
б) Пусть — центр вписанной окружности треугольника
—
центр вписанной окружности треугольника
— центр вписанной
окружности треугольника
Кроме того,
— средние линии треугольника
Тогда
имеем:
Значит, треугольники
равны по трем сторонам. В
равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому
и
Тогда отрезки
и
равны и параллельны.
Следовательно,
— параллелограмм. Тогда
Аналогично докажем, что и
Тогда треугольник подобен треугольнику
с коэффициентом
Значит, радиус описанной окружности
в 2 раза меньше радиуса
описанной окружности
По условию в треугольнике стороны
и
равны, то
есть он равнобедренный. Косинус угла при основании равнобедренного
треугольника равен отношению половины основания к боковой стороне,
поэтому
Тогда получаем
Значит, по теореме синусов для треугольника с радиусом
описанной
окружности:
Тогда радиус описанной окружности треугольника равен
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
![](/public/new-site/images/loyalty.png)
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
![](/public/new-site/images/roulette.png)
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
![](/public/new-site/images/dnr-lnr.png)
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
![](/public/images/special/special-nology-minus.jpg)
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
![](/public/new-site/images/teachers.png)
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
![](/public/new-site/images/money.png)
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!