.00 Задания 2023-24 года
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В странах Линея и Квадратия могут производиться товары X и Y. КПВ
страны Линея имеет вид . КПВ страны Квадратия имеет вид
. В обеих странах товары потребляют только в комплектах.
Один комплект состоит из одной единицы товара и пяти единиц товара
.
a) (5 баллов) Допустим, страны никак не взаимодействуют друг с другом.
Найдите максимально возможное суммарное потребление комплектов в двух
странах.
б) (15 баллов) Теперь допустим, что страны могут сотрудничать, то есть
договориться о совместной стратегии производства. Найдите максимальное
возможное суммарное потребление комплектов в двух странах. На сколько
комплектов оно больше, чем в пункте а)? Подсказка: пункт б) можно решить как с
помощью нахождения суммарной КПВ, так и без него.
a) Исходя из соотношения товаров в комплектах, имеем и . Подставим в уравнения КПВ и преобразуем:
Из первого уравнения получаем , в Линее потребляется 40 комплектов. Из второго уравнения:
Нас интересует положительный корень . Это и есть количество комплектов, потребляемых в Квадратии.
Общее количество комплектов в двух странах равно . Графики КПВ (Рис. 3.1) для полного решения необязательны.
б) Способ 1 (не требует сложения КПВ). Составим систему ограничений, которая будет учитывать и КПВ обеих стран, и необходимость производить комплекты, и преобразуем ее так, чтобы выразить через :
Количество комплектов, произведенное в странах, равно количеству произведенного товара X , то есть . Его и нужно максимизировать при указанных выше ограничениях. Запишем выражение для этого количества:
Это парабола с ветвями вниз, ее максимум достигается при . Отсюда получаем
Оба объема производства X меньше максимально возможных в своих странах, поэтому найденные точки действительно лежат на страновых КПВ.
Общее количество комплектов равно общему количеству товара X и составляет . Это на 9 комплектов больше, чем в пункте а).
Способ 2. Построим суммарную КПВ. Альтернативная стоимость товара в Линее всегда равна 2 , а в Квадратии является переменной величиной, равной модулю производной по . При значениях альтернативная стоимость в Квадратии меньше, товар X нужно производить там. При б´ольших производство каждой единицы X в Квадратии становится дороже, чем в Линее, поэтому нужно переключиться на производство X в Линее, а вернуться в Квадратию тогда, когда производственные возможности X в Линее будут исчерпаны.
Таким образом, уравнение общей КПВ имеет вид:
В каждом уравнении выражение в круглых скобках - количество единиц товара Y, произведенное в Линее, а в квадратных скобках - в Квадратии. Выражения записаны так, чтобы было видно, какое значение подставляется в уравнение КПВ каждой страны.
Подставим условие на соотношение товаров в комплекте в каждый участок, при этом упростив правые части:
Поскольку КПВ - убывающая функция, а - возрастающая, у них может быть не более одного пересечения. Решим самое простое уравнение - второе, получим , что попадает в интервал . Можно (но не обязательно) убедиться, что решение первого уравнения на соответствующий участок не попадает, а третье уравнение и вовсе не имеет корней (это видно на Рис. 3.2, где «недостающие» части парабол нарисованы светлыми линиями). Значит, и есть оптимальное производство товара X и оптимальное количество комплектов. Общее количество увеличится по сравнению с пунктом а) на 9.
Сложить КПВ можно и другим (более длинным) способом, не прибегая к сравнению альтернативных издержек. По определению, уравнение суммарной КПВ показывает максимальный суммарный уровень производства товара при данном суммарном производстве товара . Значит, можно получить, решив оптимизационную задачу (*):
Подставляя выражения для и , получаем задачу
Затем, выражая, например, через и , получаем задачу
Ее решение будет достигаться либо в вершине параболы , либо на одной из границ в зависимости от , а именно:
Подставляя в целевую функцию, находим уравнение КПВ , состоящее из трех участков.
а)
б)
в)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!