Тема Региональные этапы ВСОШ прошлых лет

Задания 2023-24 года

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#95293

В государстве Ругриград национальной валютой является ругрик. На валютном рынке функция спроса на ругрики имеет вид $QD (P )= 100 − P$ , где $P$ - валютный курс ругрика (цена одного ругрика, выраженная в единицах иностранной валюты), $Q−$ количество ругриков (в млн). Функция предложения ругриков на валютном рынке, в свою очередь, зависит от ставки процента $r$ в Ругриграде и имеет вид $S Q (P )= kr+ P$ , где $k$ - некоторый коэффициент. Ставка процента $r$ измеряется в процентах, а не в долях, то есть если $r = 10%$ , то в уравнение нужно подставлять число 10. Частное потребление в Ругриграде задается как $C = 20+ 0,5Yd$ , где $Yd$ - располагаемый доход, чистые налоги и госрасходы автономны и равны, соответственно, $T = 50$ и $G = 30$ . Инвестиции отрицательно зависят от ставки процента ( $I =40 − r$ ), а чистый экспорт отрицательно зависит от валютного курса ругрика и задается функцией $NX = 10$ $0,5P$ .
a) (2 балла) Пользуясь экономической интуицией, отметьте наиболее вероятный знак коэффициента $k :+$ или -. Объяснение приводить не нужно. В дальнейшем решении пользуйтесь вашим предположением относительно знака коэффициента $k$ .
б) (10 баллов) Пусть $|k|= 1$ , а ставка процента $r = 10%$ . Чему равны равновесный валютный курс ругрика $P$ и равновесный выпуск Ругриграда?
в) (4 балла) Спрос на ругрики упал до уровня $QD(P)= 94− P$ . На сколько процентных пунктов и как (увеличить/уменьшить) Центральный Банк Ругриграда (ЦБР) должен изменить ставку процента, чтобы вернуть курс ругрика к прежнему уровню?
г) (4 балла) Предположим, ЦБР изменил ставку процента до уровня, определенного в в). На сколько и как (увеличить/уменьшить) нужно теперь изменить налоги, чтобы вернуть ВВП на исходный уровень, сохраняя уровень валютного курса?

Показать ответ и решение

a) Ответ: - (минус).

Пояснение (от участника оно не требуется): при прочих равных, рост ставки процента в стране увеличивает стимулы агентов к сбережению денег в национальной валюте - ругриках. Таким образом, предложение ругриков - желание их продавать должно снижаться. Значит, $k < 0$ .

б) На валютном рынке должен наблюдаться баланс спроса и предложения ругриков, $D S Q (P) =Q (P)$ . Из условия мы знаем, что $D Q (P)= 100− P$ , а из предыдущего пункта ясно, что $QS(P)= − 10 + P$ . Соответственно, в равновесии верно, что $100− P = −10+ P$ , откуда $P =55$ - равновесный валютный курс ругрика.

Теперь запишем основное макроэкономическое тождество для открытой экономики: $Y = C + I + G+ NX = 20+ 0,5Yd+ 40− r+ 30+ 10− 0,5P = 100 +0,5Yd− r− 0,5P$ . Поскольку в Ругриграде налоги автономны, располагаемый доход оказывается равен $Yd = Y − T = Y − 50$ . Также из условия известно, что $r = 10$ , а из предыдущей части решения мы знаем, что $P = 55$ . Подставляя эти результаты в уравнение, получим $Y = 75+ 0,5Y − r− 0,5P =75 +0,5Y − 10− 0,5 ⋅55$ , и решая его относительно $Y$ имеем, что $Y = 75$ - равновесный выпуск Ругриграда.

в) Пусть ставка процента равна $r$ . Тогда новый равновесный валютный курс ругрика находится из уравнения $QD (P)= QS (P )$ , то есть $94− P =− r+ P$ , откуда $P = 47+ 0,5r$ . ЦБР хочет, чтобы было выполнено соотношение $P = 47+ 0,5r = 55$ , откуда новое значение ставки процента равно $r = 16$ . Изначально ставка процента была равна $10%$ , а значит, чтобы добиться своей цели, Центральный Банк должен увеличить ставку процента на 6 процентных пунктов.

г) В новых условиях верно, что $r = 16$ и $P = 55$ . Из решения пункта б) мы знаем, что основное макроэкономическое тождество для Ругриграда может быть записано в виде уравнения $Y = 100+ 0,5(Y − T)− r− 0,5P$ . Государство хочет вернуть выпуск на исходный уровень, то есть добиться $Y = 75$ . Подставляя $Y,r$ и $P$ в уравнение и решая его относительно $T$ , получим, что $T = 38$ . Исходный уровень налогов равен 50, поэтому для достижения своей цели государству следует уменьшить налоги на 12

Ответ:

а) ’-’

б) $P = 55,Y = 75$

в) увеличить на 6 процентных пунктов

г) уменьшить на 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95295

Авиарейсы из города N-ска в Москву осуществляет единственная авиакомпания «N-авиа». Спрос на ее услуги предъявляют две группы пассажиров - пенсионеры и непенсионеры. Месячный спрос пенсионеров на авиабилеты описывается уравнением $Q = 44− P$ , а месячный спрос непенсионеров - уравнением $Q = 80− P$ . Месячная функция издержек авиакомпании имеет вид $T C = 20Q + 500$ .

Продавать билеты пенсионерам и непенсионерам по разным ценам законом не запрещено, но изначально авиакомпания этого не делает, потому что продает билеты только через интернет и не имеет технической возможности проверять наличие пенсионных удостоверений.
a) (10 баллов) Найдите единую цену на билет, которую установит компания в изначальной ситуации.
б) (6 баллов) Авиакомпания может арендовать офис продаж в одном из городских торговых центров. Продавая билеты в офисе, фирма сможет проверять наличие пенсионных удостоверений, и, соответственно, назначать для пенсионеров и непенсионеров разные цены. Определите максимальное значение месячной арендной платы $Rmax$ , которое компания будет готова платить за аренду офиса.
в) (4 балла) Допустим, наличие офиса не только позволяет назначать для пенсионеров и непенсионеров разные цены, но и увеличивает в целом узнаваемость авиакомпании - в случае открытия офиса спрос непенсионеров вырастет до $Q = 90− P$ . Найдите значение $Rmax$ в этих условиях

Показать ответ и решение

а) Найдем функцию рыночного спроса. Поскольку при ценах $P ∈(44;80)$ покупают билеты только непенсионеры, спрос имеет вид

{ { 80− P +44 − P, P ≤ 44; 124 − 2P, P ≤44; Q (P )= 80− P, P ∈(44;80] = 80− P, P ∈(44;80]

Дальше можно решать двумя способами - максимизацией прибыли по цене или по количеству.

Способ 1 (максимизация по цене). Составим функцию прибыли фирмы $π(P)$ .

{ π(P )= Q(P)⋅P−T C(Q(P))= Q(P)P− 20Q (P )−500= 164P − 2P 2− 2980, P ≤ 44 100P − P 2− 2100, P ∈ (44;80]

Найдем цену $P∗$ , при которой прибыль максимальна. Функция прибыли на каждом из участков является квадратичной, ветви парабол направлены вниз. Поэтому максимум на каждом из участке достигается в вершине соответствующей параболы, если она принадлежит этому участку.

Найдем эти вершины. - На участке $[0;44],PB = (−164)∕(−2⋅2)= 41$ , что принадлежит этому участку. - На участке $(44;80]PB = (−100)∕(−2)= 50$ , что принадлежит этому участку.

Значит, обе цены 41 и 50 являются точками локального максимума прибыли. Глобально оптимальной будет та из этих двух цен, при которой прибыль больше. Рассчитаем эту прибыль.

π (41)= (124 − 2 ⋅41)(41− 20) − 500= 382 π(50) = (80− 50)(50− 20)− 500= 400

Поскольку $400> 382$ , оптимальной является цена $P∗ = 50$ . Авиакомпания назначит цену, при которой пенсионеры не будут пользоваться ее услугами.

Способ 2 (максимизация по количеству). Найдем обратную функцию рыночного спроса $P (Q )$ из уравнения $Q (P)$ .

{ P (Q)= 80 − Q, Q ≤36 62 − Q ∕2, Q ∈(36;124]

Точку излома $Q = 36$ получаем, подставив цену излома $P = 44$ в $Q(P)$ . Составим функцию прибыли $π(Q)$ .

{ 2 π(Q)= P(Q) ⋅Q − TC (Q )= 60Q − Q − 500, Q ≤ 36 42Q − Q2 ∕2 − 500, Q ∈ (36;124]

На каждом из двух участков функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз. При $Q ≤ 36$ вершиной параболы является $Q в = (− 60)∕(−2)= 30$ , при $Q >36$ вершина находится в точке $QB = −(42)∕(−2⋅0,5) =42$ . Обе вершины принадлежат соответствующим участкам, значит, на каждом из участков максимум достигается именно в соответствующей вершине.

Также точки локального максимума $Q = 30$ и $Q = 42$ можно найти из приравнивания $MR$ и $MC$ . Функция $MR (Q)$ на каждом из участков вдвое более крута, чем функция $P (Q )$ :

{ MR (Q)= 80− 2Q, Q < 36 62− Q, Q ∈ (36;124]

Решая уравнение $MR (Q )= 20$ , находим его два корня $Q =30$ и $Q= 42$ . Это точки локального максимума прибыли, потому что $MR$ убывает в окрестности этих точек, а $\text{[math]}$ постоянны.

Чтобы найти глобальный максимум прибыли, сравним прибыль при $Q = 30$ и $Q = 42$ .

π(30)= 60⋅30− 302− 500 =400 2 2 π(42)= 42 − 42 ∕2− 500= 382.

Значит, прибыль максимальна при $Q∗ = 30$ , что соответствует цене $P ∗ = 80− 30= 50$ .

б) Фирма будет готова платить за аренду офиса сумму не большую, чем прирост ее прибыли от того, что она сможет назначать две разные цены, а не одну единую. Найдем максимальную прибыль фирмы, если она может назначать две разные цены.

Способ 1 (максимизация по ценам). Пусть $P1$ - цена для пенсионеров, а $P2$ - для всех остальных. Тогда прибыль фирмы как функция этих двух цен примет вид

π(P1,P2) =(44− P1)P1+ (80− P2)P2− 20(44 − P1 +80 − P2)− 500= =(44− P1)(P1− 20)+(80− P2)(P2− 20)− 500

Как видим, функция прибыли разбивается на сумму двух слагаемых, каждое из которых является функцией только от своей цены. Прибыль будет максимальна, когда каждое из слагаемых будет максимально. Поскольку каждое из слагаемых является квадратичной функцией и ветви парабол направлены вниз, максимум каждого из слагаемых достигается в вершине соответствуюшей параболы. Отсюда $P∗1 = 32$ , $P∗2 = 50$ (вторую вершину мы уже нашли в пункте а)).

Максимальная прибыль (без учета расходов на аренду) равна $π(32,50)= (44−$ $32)(32 − 20)+ (80 − 50)(50− 20)− 500= 544$

Значит, фирма будет готова платить за аренду офиса не больше, чем

Rmax = 544− 400= 144

Эту сумму можно было найти чуть проще, заметив, что поскольку фирма назначает для непенсионеров ту же цену, что и в пункте а), (переменная) прибыль от непенсионеров та же, а значит, $Rmax$ просто равно вновь полученной прибыли от пенсионеров, то есть $(44 − 32)(32 − 20)= 144$ .

Способ 2 (максимизация по количествам). Пусть $Q1$ - объем покупок пенсионеров, $Q2$ - непенсионеров. Тогда прибыль фирмы как функция от $Q1$ и $Q2$ есть

π(Q1,Q2)= (44 − Q1 )Q1+ (80− Q2)Q2− 20(Q1+ Q2)− 500= = (24Q1 − Q21)+ (60Q2− Q22)− 500

Как видим, функция прибыли разбивается на сумму двух слагаемых, каждое из которых является функцией только от своего количества. Прибыль будет максимальна, когда каждое из слагаемых будет максимально. Поскольку каждое из слагаемых является квадратичной функцией и ветви парабол направлены вниз, максимум каждого из слагаемых достигается в вершине соответствующей параболы. Отсюда $∗ Q1 =12$ , $∗ Q 2 = 30$ (вторую вершину мы уже нашли в пункте а)).

Также можно эти объемы найти из приравнивания предельного дохода для каждой группы с предельными издержками: $MR (Q )= 44 − 2Q = MC = 20,MR (Q )= 1 1 1 2 2$ $80− 2Q2 = MC = 20$ . При таком решении $Qi$ проверкой достаточных условий максимума является указание на то, что функции $MR$ убывают, а $MC$ постоянны. Максимальная прибыль (без учета расходов на аренду) равна $π(12,30)= 544$ . Значит, фирма будет готова платить за аренду офиса не больше, чем

Rmax = 544− 400= 144

в) Пересчитаем максимальную прибыль в случае открытия офиса. Она находится так же, как в пункте б), но с новым спросом непенсионеров. Поскольку спрос пенсионеров тот же, что в б), мы уже знаем оптимальную цену для них $⋆ − P 1 = 32$ (оптимальный объем $∗ Q1 = 12$ ).

Найдем новый оптимум при обслуживании непенсионеров.

Способ 1 (максимизация по цене). Новую оптимальную цену для непенсионеров находим из максимизации функции $(90− P)(P − 20)$ . Эта функция квадратичная, ветви параболы направлены вниз, значит, максимум достигается в вершине, откуда $P2∗= 55$ .

Способ 2 (максимизация по количеству). Новый оптимальный объем для непенсионеров находим из максимизации функции ( $90 − Q )Q − 20Q$ . Эта функция квадратичная, ветви параболы направлены вниз, значит, максимум достигается в вершине, откуда $Q∗2 =35$ . Также этот объем можно найти из приравнивания $MR = 90− 2Q$ и $MC = 20$ .

Значит, в случае открытия офиса прибыль будет равна

π = 144+ (90− 55)(55− 20) − 500= 869.

Отсюда $Rmax = 869− 400= 469$ .

Ответ:

а) $P ∗ = 50$

б) $Rmax =144$

в) $Rmax =469$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95298

В странах Линея и Квадратия могут производиться товары X и Y. КПВ страны Линея имеет вид $y1 = 280− 2x1$ . КПВ страны Квадратия имеет вид $y2 = 252− x22∕7$ . В обеих странах товары потребляют только в комплектах. Один комплект состоит из одной единицы товара $X$ и пяти единиц товара $Y$ .
a) (5 баллов) Допустим, страны никак не взаимодействуют друг с другом. Найдите максимально возможное суммарное потребление комплектов в двух странах.
б) (15 баллов) Теперь допустим, что страны могут сотрудничать, то есть договориться о совместной стратегии производства. Найдите максимальное возможное суммарное потребление комплектов в двух странах. На сколько комплектов оно больше, чем в пункте а)? Подсказка: пункт б) можно решить как с помощью нахождения суммарной КПВ, так и без него.

Показать ответ и решение

Ответ:

а) 68 комплектов

б) 77 комплектов, на 9 больше, чем в пункте а).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95317

Показать ответ и решение

a) Исходя из соотношения товаров в комплектах, имеем $y1 =5x1$ и $y2 =5x2$ . Подставим в уравнения КПВ и преобразуем:

5x1 = 280− 2x1, 5x2 = 252 − x22∕7 7x1 = 280. x22∕7+ 5x2− 252 = 0.

Из первого уравнения получаем $⋆ x1 = 40$ , в Линее потребляется 40 комплектов. Из второго уравнения:

∘ ----------- √ --- x = −5±---25+-4⋅252∕7-= −5-±--169= −-5±-13. 2 2∕7 2∕7 2∕7

Нас интересует положительный корень $∗ x2 = 8∕(2∕7)= 28$ . Это и есть количество комплектов, потребляемых в Квадратии.

Общее количество комплектов в двух странах равно $40+ 28= 68$ . Графики КПВ (Рис. 3.1) для полного решения необязательны.

б) Способ 1 (не требует сложения КПВ). Составим систему ограничений, которая будет учитывать и КПВ обеих стран, и необходимость производить комплекты, и преобразуем ее так, чтобы выразить $x1$ через $x2$ :

( { { yy1 == 228502−− 2xx12∕,7, y1+ y2 = 280− 2x1+ 252− x22∕7 ( y21+ y2 = 5(x21 +x2). y1+ y2 = 5(x1+ x2); 2 1- 2 5 5(x1+ x2)= 280 − 2x1 +252− x2∕7; x1 =− 49x2− 7x2 +76

Количество комплектов, произведенное в странах, равно количеству произведенного товара X , то есть $(x1 +x2)$ . Его и нужно максимизировать при указанных выше ограничениях. Запишем выражение для этого количества:

( ) x1+ x2 = − 1-x22− 5x2+ 76 +x2 =− 1-x22+ 2x2+ 76. 49 7 49 7

Это парабола с ветвями вниз, ее максимум достигается при $x2 = (− 2∕7)∕(−2∕49)= 7$ . Отсюда получаем

1 2 5 x1 = − 49 ⋅7 − 7 ⋅7+ 76= −1− 5+ 76= 70

Оба объема производства X меньше максимально возможных в своих странах, поэтому найденные точки действительно лежат на страновых КПВ.

Общее количество комплектов равно общему количеству товара X и составляет $70+ 7 =77$ . Это на 9 комплектов больше, чем в пункте а).

Способ 2. Построим суммарную КПВ. Альтернативная стоимость товара $X$ в Линее всегда равна 2 , а в Квадратии является переменной величиной, равной модулю производной $y2$ по $x2 : 27x2$ . При значениях $x2 < 7$ альтернативная стоимость в Квадратии меньше, товар X нужно производить там. При б´ольших $x2$ производство каждой единицы X в Квадратии становится дороже, чем в Линее, поэтому нужно переключиться на производство X в Линее, а вернуться в Квадратию тогда, когда производственные возможности X в Линее будут исчерпаны.

Таким образом, уравнение общей КПВ имеет вид:

({ (280 − 2⋅0)+[252−[ X2∕7], ] X ≤ 7 (в Линее производится только Y) Y = (280 − 2(X − 7))+[ 252− 72∕7 , ] 7 < X < 147 (Х и Y производятся везде) ( (280 − 2⋅140)+ 252− (X − 140)2∕7 , X ≥ 147 (весь Y производится в Квадратии)

В каждом уравнении выражение в круглых скобках - количество единиц товара Y, произведенное в Линее, а в квадратных скобках - в Квадратии. Выражения записаны так, чтобы было видно, какое значение $x$ подставляется в уравнение КПВ каждой страны.

Подставим условие на соотношение товаров $Y = 5X$ в комплекте в каждый участок, при этом упростив правые части:

( 2 |{5X = 532− X ∕7, если X ≤ 7 |5X = 539− 2X, если 7 < X < 147 (5X = 252− (X − 140)2∕7, если X ≥ 147

Поскольку КПВ - убывающая функция, а $Y =5X$ - возрастающая, у них может быть не более одного пересечения. Решим самое простое уравнение - второе, получим $X = 77$ , что попадает в интервал $(7;147)$ . Можно (но не обязательно) убедиться, что решение первого уравнения $X ≈ 46$ на соответствующий участок не попадает, а третье уравнение и вовсе не имеет корней (это видно на Рис. 3.2, где «недостающие» части парабол нарисованы светлыми линиями). Значит, $X = 77$ и есть оптимальное производство товара X и оптимальное количество комплектов. Общее количество увеличится по сравнению с пунктом а) на 9.

Сложить КПВ можно и другим (более длинным) способом, не прибегая к сравнению альтернативных издержек. По определению, уравнение суммарной КПВ $Y (X )$ показывает максимальный суммарный уровень производства товара $Y$ при данном суммарном производстве товара $X$ . Значит, $Y(X )$ можно получить, решив оптимизационную задачу (*):