Тема Региональные этапы ВСОШ прошлых лет

Задания 2022-23 года

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#95277

Фирма «ЭПВВв» производит параболические антенны. Производственная функция фирмы имеет вид

{ } {L2, L2 ≤ K Q(L,K )= min L2,K = K, L2 > K

где $Q$ - количество антенн (в тыс. шт., целочисленностью антенн пренебрегаем), $L−$ объем труда, а $K$ - объем капитала. Фирма является совершенным конкурентом как на рынке труда, так и на рынке антенн, цена 1 тыс. шт. равна 1. В настоящий момент в собственности фирмы есть 4 единицы капитала. Если фирма безразлична между несколькими объемами труда, то она выберет наибольший из них.
a) (12 баллов) Допустим, фирма не может изменить количество имеющегося у нее капитала. Выведите функцию спроса фирмы на труд $Ld(w)$ , показывающую, сколько единиц труда фирма наймет при каждом уровне зарплаты $w > 0$ .
б) (13 баллов) У фирмы появляется возможность арендовать дополнительно 5 единиц капитала, заплатив за это в сумме величину $S$ . Пусть $Smax(w)$ - максимальное значение $S$ , которое будет готова заплатить фирма «ЭПВВв» за аренду 5 единиц капитала при каждом $w > 0$ . Выведите функцию $Smax(w )$ и постройте ее график.
в) (5 баллов) Рассмотрите фразу «В данном случае функция $Smax(w)...$ , и значит, труд и капитал являются ... в производстве». Заполните первый пропуск словом «убывает» или «возрастает», а второй пропуск словом «субститутами» или «комплементами». Обосновывать свой выбор не нужно, в данном пункте проверяется только ответ.

Показать ответ и решение

a) При $K = 4$ производственная функция фирмы принимает вид

{ } {L2, L2 ≤ 4 Q(L,4)= min L2,4 = 2 4, L > 4

Составим функцию прибыли фирмы $π(L)$ . Фирма выбирает объем труда, так чтобы ее прибыль была максимальной.

{ { L2 − wL, L2 ≤4; L2− wL, L ≤ 2 π(L)= TR − TC = P ⋅Q − wL = 4− wL, L2 > 4 = 4− wL, L > 2

Мы не включили в прибыль расходы на капитал, потому что они уже понесены. Функция $L2 − wL$ является квадратичной, ветви параболы направлены вверх (Это Парабола с Ветвями Вверх, ЭПВВв). Парабола с ветвями вверх максимальна на отрезке $[0;2]$ обязательно либо в левом, либо в правом конце отрезка $1$ . Функция $4− wL$ же убывает, поэтому значения $L > 2$ точно не оптимальны.

Таким образом, максимум функџии прибыли может достигаться либо при $L = 0$ , либо при $L= 2$ , поэтому нам достаточно сравнить прибыль в этих точках. При $L= 0$ прибыль равна 0 , а при $L = 2$ прибыль равна $4− 2w$ . Сравнив значения прибылей, получаем, при $w ≤2$ оптимально выбирать $L = 2$ , а при $w > 2− L= 0$ . Искомая функция спроса на труд имеет вид:

{ Ld(w)= 2, w ≤20 w > 2

б) Фирма готова платить сумму $S$ за аренду 5 единиц капитала тогда и только тогда, когда ее прибыль от этого не уменьшается.

Рассчитаем прибыль фирмы в двух случаях: (1) фирма не арендует 2 единицы капитала; (2) фирма их арендует, платя $S$ . 1. Если фирма не арендует 5 единицы капитала, ее прибыль равна максимальной прибыли из пункта а). Она равна

{ π∗1 = 4− 2w, w ≤ 2 0, w > 2

2. Если фирма арендует 5 единиц капитала, ее максимальную прибыль можно найти так же, как в пункте а), только не для $K =4$ , а для $K =4 +5 = 9$ . Также нужно вычесть из прибыли $S$ . При $K = 9$ функция прибыли фирмы примет вид

{ 2 π(L)= L − wL − S, L≤ 3 9 − wL− S, L> 3

Фирма максимизирует ее по $L$ . Аналогично пункту а), максимум достигается либо при $L = 0$ , где прибыль равна $− S$ , либо при $L =3$ , где прибыль равна $9 − 3w − S$ . Получаем, что при $w ≤ 3$ оптимальным является $L= 3$ , при $w > 3− L =0$ . Значит, максимальная прибыль равна

{ ∗ 9 − 3w − S, w ≤ 3 π2 = − S, w > 3

$Smax(w )$ - это максимальное значение $S$ , при котором $π∗2 ≥ π∗1$ . Значит, - При $w ≤ 2Smax(w) = 9− 3w − 4+ 2w =5 − w$ . - При $2< w ≤ 3Smax(w) =9 − 3w − 0= 9− 3w$ .

- При $w > 3Smax(w)= 0 − 0 = 0$ .

Таким образом,

( |{ 5− w, 0< w ≤ 2 Smax(w)= 9− 3w, 2< w ≤ 3 |( 0, w > 3

График этой функции имеет вид

$PIC$

в) 1) «убывает», 2) «комплементами».

Пояснение (от участника оно не требуется): $Smax(w)$ является готовностью платить за капитал, то есть величиной, характеризующей спрос на капитал. Получаем, что на качественном уровне спрос на капитал убывает по цене труда (зарплате). Когда спрос на одно благо убывает по цене другого, блага являются дополняющими (комплементами).

Ответ:

а) ${ 2, w ≤ 20 Ld(w) = w > 2$

б) $(|5 − w, 0< w ≤ 2 Smax(w)= {9 − 3w, 2< w ≤ 3 |( 0, w > 3$

График предоставлен в решении

в) 1) "Убывает"2) "Комплементами"

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95280

В некой стране рынок грузовых автомобильных перевозок является рынком совершенной конкуренции. Спрос описывается уравнением $Q = 25− P$ , предложение имеет вид $P = 5$ . Перевозки сопровождаются вредными выбросами в атмосферу. Объем перевозок $Q$ влечет ущерб для экологии в денежном эквиваленте $2 aQ$ , где $a >0−$ параметр.

Государство задумалось о вмешательстве на данном рынке с целью увеличения общественного благосостояния. Министерство экономики подготовило список возможных мер, и среди них оказалась довольно неожиданная. Согласно расчетам министерства, общественное благосостояние увеличится, если принудительно объединить все фирмы, создав на этом рынке монополиста.
a) (17 баллов) Определите, какие значения может принимать параметр а в свете сказанного в предыдущем предложении.
б) (13 баллов) Определите значение параметра $a$ , если объединение фирм приведет к росту общественного благосостояния до максимально возможного уровня.

Для справки. Величина общественного благосостояния при объеме $Q$ равна сумме излишка потребителей (равного $2 CS = 0,5Q$ ) и прибыли фирм за вычетом ущерба для экологии. Считайте, что постоянные издержки отсутствуют.

Показать ответ и решение

a) Найдем, при каких $a$ общественное благосостояние при монополии больше, чем при конкуренции. 1) Определим, какое количество грузовых перевозок производится при совершенной конкуренции. Пересекая спрос и предложение, получаем, что $c Q = 25− P = 25− 5 =$ 20. 2) Определим величину общественного благосостояния при конкуренции. Излишек потребителей равен $2 CS =20 ∕2= 200$ (его можно посчитать и непосредственно площадь треугольника, образованного графиками спроса и предложения: $c CS = (25 − 5)⋅20∕2= 200($ см. рис. 6.1 $)$

Абсолютно эластичное предложение означает постоянные предельные издержки производства, которые равны $5 :MC =5$ . Поскольку $FC = 0$ , то $AC = 5$ , а значит, $P = AC$ , то есть (экономическая) прибыль фирм равна нулю.

Наконец, ущерб для экологии равен $a(Qc)2 = 400a$ . Таким образом, общественное благосостояние при совершенной конкуренции равно

SW c = CSc +0 − 400a= 200− 400a

3) Теперь найдем оптимум монополиста. Как мы выяснили, $MC = 5,F C = 0$ , поэтому общие издержки монополиста равны $TC(Q) =5Q$ . Монополист решает задачу максимизации прибыли:

π(Q )= (25 − Q )Q − 5Q = (20− Q )Q → maxQ

Графиком функции прибыли является парабола с ветвями вниз, вершина которой определяется объемом перевозок $Qm = 10$ .

Оптимум монополиста также можно было найти через равенство предельного дохода и предельных издержек: $MR (Q)= 25− 2Q = 5$ . Мы получим максимум, потому что это стандартная модель с линейным спросом, $MR$ убывает, и $MC$ постоянны. Также можно максимизировать прибыль как функцию от цены: $π(P )= (P − 5)(25− P)→$ $maxP$ , это парабола с ветвями вниз, вершина находится посередине между корнями, $P∗ = (25+ 5)∕2= 15$ , тогда $Q = 25− P∗ =10$ . 4) Определим величину общественного благосостояния при монополии. Величина излишка потребителя $CSm$ равна $(Qm )2∕2= 50$ . (Ее можно найти и непосредственно как площадь треугольника, образованного графиком спроса и ценой $P m = 15 :CSm =$ $(25− 15)⋅10∕2 =50$ .) При этом монополист получит прибыль $πm = (25− Qm )Qm − 5Qm =$ 100 и принесет ущерб экологии $a(Qm )2 = 100a$ .

Значит, величина общественного благосостояния при монополии равна

SW m = 50+ 100− 100a = 150 − 100a

. 5) Монополизация рынка приведет к увеличению благосостояния, так что

c m SW < SW 200 − 400a< 150− 100a 50 <300a 1 6 < a

б) 1) Определим, при каком объеме перевозок достигается максимальный уровень благосостояния. В общем виде излишек потребителя равен $2 CS(Q) =Q ∕2$ , а прибыль $π(Q) = (20− Q )Q$ . Таким образом, функция общественного благосостояния имеет вид

( ) SW (Q)= Q2∕2+ (20− Q)Q − aQ2 = 20Q− 1+ a Q2 2

Графиком функции общественного благосостояния является парабола с ветвями вниз, вершина которой определяется объемом перевозок $Q∗ = 12+02a$ . Аналогичный ответ также можно было получить, приравняв производную $SW (Q)$ к нулю и проверив критическую точку на максимум.

Итак, общественное благосостояние достигает своего максимального уровня при $Q ∗ = 12+02a$ 2) Теперь определим, при каком $\text{[math]}$ максимум общественного благосостояния достигается при монополии.

Способ 1 (более быстрый). Поскольку для достижения максимума общественного благосостояния необходимо, чтобы объем равнялся $∗ -20- Q = 1+2a$ , этот максимум достигается при монополии, если и только если монопольный выпуск равен как раз $Q ∗$ :

m ∗ Q = Q 10 = -20-- 1+ 2a

откуда $a= 12$ . Ответ: $a= 1∕2$ . Способ 2 (более длинный) Непосредственно приравняем максимальное общественное благосостояние к благосостоянию при монополии (которое мы уже нашли в пункте а)).

Максимально возможное благосостояние равно равно

∗ --20- 1+-2a( -20--)2 -200- SW (Q )= 201 +2a − 2 1+ 2a = 1 +2a

Приравняем его к монопольному:

-200- =SW m = 150− 100a 1+ 2a

Деля обе части на 100 и преобразовывая, получаем квадратное уравнение

2 4a − 4a +1 = 0 (2a− 1)2 =0

откуда $a= 1∕2$ .

Ответ:

а) $a > 1 6$

б) $1 a= 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95284

В некоторой закрытой экономике предельная норма потребления убывает с ростом дохода, и функция потребления задается уравнением $√-- C = 4+ Yd$ , где $Yd−$ располагаемый доход домохозяйств, $C$ - их потребление. Инвестиции равны 16, а госзакупки и налоги изначально равны нулю. В данной задаче рассматриваются только аккордные налоги.
a) (5 баллов) Найдите равновесный уровень ВВП в данной экономике.
б) (5 баллов) Найдите уровень ВВП, если государство в ситуации пункта а) увеличит госзакупки на 10 единиц, не увеличивая налоги.
в) (5 баллов) Найдите уровень ВВП, если государство в ситуации пункта а) увеличит госзакупки на 22 единицы, не увеличивая налоги.
г) (6 баллов) Определите мультипликаторы госрасходов для политик в пунктах б) и в). Одинаковы ли они?
д) (9 баллов) Как известно, в стандартной модели (при линейной функции потребления) мультипликатор сбалансированного бюджета равен единице для любого размера увеличения госзакупок $ΔG ≥ 0$ . Верно ли это в данной задаче?

Показать ответ и решение

a) По основному макроэкономическому тождеству для закрытой экономики, $Y =$ $C + I + G$ . Поскольку изначально $√ ----- √ -- G = T = 0,Y = 4+ Y − 0+ 16+ 0,Y = 20 + Y$ . Это уравнение квадратное относительно $√-- x= Y$ , имеем $x2 − x − 20 = 0$ , откуда $x = 5$ (подходит только положительный корень). Значит, $2 Y = x =25$ .

б) Теперь уравнение на $Y$ запишется как $√----- √-- Y = 4+ Y − 0+ 16+ 10,Y = Y + 30$ . Это уравнение квадратное относительно $√-- x= Y$ , имеем $2 x − x − 30 = 0$ , откуда $x = 6$ (подходит только положительный корень). Значит, $2 Y = x =36$ .

в) В этом случае уравнение на $Y$ запишется как $Y = 4+ √Y-−-0+ 16+ 22,Y = √Y-+42$ . Это уравнение квадратное относительно $x= √Y-$ , имеем $x2 − x − 42 = 0$ , откуда $x = 7$ (подходит только положительный корень). Значит, $Y = x2 =49$ .

г) Мультипликатор госрасходов равен $ΔY- multG = ΔG$ . Для пункта б) имеем

multG = ΔY-= 36-− 25 = 11 ΔG 10− 0 10

Для пункта в) имеем

ΔY- 49-− 25 12 multG = ΔG = 22− 0 = 11

Поскольку $11 12 10 ⁄= 11$ , мультипликаторы не равны.

д) При сбалансированном бюджете размеры увеличения госзакупок и налогов одинаковы, $ΔG = ΔT$ . (В данном случае это означает, что просто $G = T$ .) Найдем равновесный ВВП при каждом $ΔG$ в данной задаче.

Имеем

√ ------- √ ------- Y = 4+ Y − ΔG + 16+ ΔT = 4+ Y − ΔG + 16+ ΔG Y − ΔG = 20+ √Y-−-ΔG-

Сделав замену $√ ------- Y − ΔG = x$ , получаем уравнение $x2− x− 20= 0$ , которое мы уже решили в пункте а): $x= 5$ . Поэтому $Y − ΔG = x2 = 25$ , и окончательно

Y = 25+ ΔG

Поэтому при росте госзакупок и налогов одновременно на $ΔG$ , ВВП вырастет ровно на то же $ΔG$ . Следовательно, мультипликатор сбалансированного бюджета в данной задаче, так же как и в стандартной модели, равен единице для любого размера увеличения госзакупок.

Ответ:

а) $Y = 25$

б) $Y = 36$

в) $Y = 49$

г) $11, 12 10 11$ , не равны

д) "Неверно"

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95288

В России действует налог на добычу полезных ископаемых (НДПИ). В случае нефти он взимается как потоварный налог за каждую добытую тонну нефти, при этом ставка налога $t$ зависит от мировой цены на нефть. В этой задаче мы рассмотрим модель, в рамках которой можно определить оптимальную ставку НДПИ в зависимости от мировой цены.

Предположим, что в некой стране внутренний спрос на нефть описывается уравнением $P = 90− 3Q$ , а внутреннее предложение - уравнением $P = 30+ Q$ . Страна может экспортировать на мировой рынок любое количество нефти по цене $x≥ 0$ , но импортировать нефть не может. Государство вводит НДПИ на нефть как потоварный налог по ставке $t≥ 0$ . Налог взимается с каждой добытой единицы нефти независимо от того, где она продана. Государство максимизирует сумму налоговых сборов. Если государство безразлично между двумя ставками налога, оно выбирает наименьшую из них.

Пусть $t∗(x)$ - ставка налога, которую назначит государство в зависимости от $x$ . Выведите функцию $∗ t(x)$ для всех $x ≥0$ и постройте ее график.

Показать ответ и решение

После введения НДПИ по ставке $t$ возможны два случая: 1) нефть поставляется только на внутренний рынок; 2) нефть поставляется как на внутренний, так и на внешний рынок.

Найдем, при каких $t$ и $x$ реализуется каждый из двух случаев. Прямая функция внутреннего спроса имеет вид $Qd(P)= 30− P∕3$ . После введения НДПИ кривая предложения примет вид $P = 30+ Q + t$ , то есть $Qs(P)= P − 30− t$ . Нефть будет поставляться на внешний рынок тогда и только тогда, когда $Q (x)< Q (x) d s$ , то есть $30− x∕3< x − 30 − t$ , откуда $t< 4x∕3− 60$ .

Теперь найдем зависимость равновесного объема добычи (производства) от $t$ . При $t< 4x∕3− 60$ нефть будет экспортироваться, общий объем добычи будет определяться мировой ценой, $Q= Qs (x)= x − 30 − t$ . При $t≥ 4x∕3− 60$ нефть будет продаваться только внутри страны, а значит, объем будет определяться внутренним равновесием: $90 − 3Q = 30+ Q +t$ , откуда $Q= (60− t)∕4$ . Подытоживая,

{x − 30 − t, t< 4x∕3− 60 Q (t)= (60− t)∕4, t≥ 4x∕3− 60

Значит, налоговые сборы по НДПИ будут равны

{ T(t)= tQ (t)= t(x− 30− t), t <4x∕3− 60 t(60− t)∕4, t ≥4x∕3− 60

Государство максимизирует эту функцию по $t$ . Найдем точку глобального максимума $T(t)$ при каждом $x ≥ 0$ . Заметим, что функция $T(t)$ на каждом из двух участков является квадратичной, ветви парабол направлены вниз. Легко проверить, что функция является непрерывной в точке переключения с одной параболы на другую.

Чтобы установить промежутки монотонности функции $T (t)$ , найдем точки вершин парабол, а также значения $x$ , при которых вершины парабол находятся на актуальных для этих парабол участках. Последнее важно, потому что если обе вершины парабол находятся за пределами участков, на которых эти параболы актуальны, то $T (t)$ будет максимальна не в вершине какой-либо из двух парабол, а в точке стыковки двух парабол.

Вершиной левой параболы является $t1 = (x − 30)∕2$ , вершиной правой параболы $t2 = 30$ . Эти точки можно также найти, приравнивая производную сборов к нулю. Вершина левой параболы принадлежит актуальному для этой параболы участку при $(x− 30)∕2 < 4x∕3 − 60,x> 54$ . Вершина правой параболы принадлежит актуальному для этой параболы участку при $30 >4x∕3− 60,x< 67,5$ . Кроме того, заметим, что при $x ≤ 454x∕3− 60≤ 0$ , и потому левого участка при $x≤ 45$ просто нет (это случай, когда мировая цена меньше чем равновесная в закрытой экономики, поэтому даже без налога экспорта не будет).

Получаем 4 случая. 1. При $x ≤ 45$ левого участка нет, графиком $T(t)$ является просто парабола, оптимальной ставкой налога является $t∗ = t2 =30$ . 2. При $x ∈(45;54]$ левый участок есть, но вершина левой параболы находится вне левого участка (справа от него). Значит, на левом участке функция $T (t)$ монотонно возрастает. Вершина правой правой параболы принадлежит правому участку. Значит, максимум функции $T(t)$ достигается в вершине правого участка, $∗ t = t2 = 30$ . 3. При $x∈ (54;67,5]$ вершины обеих парабол принадлежат соответствуюшим участкам. Значит, максимум $T(t)$ достигается в одной из вершин - в той, где значение функции больше. Сравним эти значения. $T (t1)= T((x− 30)∕2)= (x− 30)2∕4$ . $T (t2)= T(30)= 900∕4.T (t1)> T (t2)$ при $(x− 30)2∕4 >900∕4,(x− 30)2 > 900,x > 60$ . Значит, при $x> 60$ оптимальной ставкой будет $t∗ = t1 = (x− 30)∕2$ , при $x< 60$ оптимальной ставкой будет $t∗ = t2 = 30$ . При $x= 30$ государство безразлично. По условию, оно выберет наименьшую ставку, то есть $t1 = (60− 30)∕2 = 15$ . 4. При $x> 67,5$ вершина левой параболы принадлежит левому участку, вершина правой параболы лежит левее правого участка. Значит, на правом участке функция монотонно убывает, а максимум достигается в вершине левого участка, $∗ t = t1 = (x− 30)∕2= x∕2− 15$ .