Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки правильной треугольной призмы площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.
Многогранник, вершинами которого являются точки — это прямоугольная пирамида с в основании и высотой
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.
Площадь поверхности правильной призмы равна сумме площадей двух оснований и четырех боковых граней. Так как призма правильная, площадь каждого из ее оснований равна квадрату стороны основания. То есть
Тогда суммарная площадь четырех боковых граней равна
Здесь — площадь поверхности призмы, а — площадь одной боковой грани. Следовательно,
Площадь боковой грани равна произведению длин стороны основания и бокового ребра, поэтому боковое ребро равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины правильной треугольной призмы При этом площадь основания призмы равна 9, а боковое ребро равно 4.
Многогранник с вершинами — это треугольная пирамида. Тогда ее объем вычисляется по формуле
Здесь — площадь основания, — длина высоты, опущенной на это основание.
При этом объем этой пирамиды равен объему пирамиды Это так, поскольку у этих пирамид равные по площади основания и лежащие в одной плоскости, и общая вершина
Тогда объем пирамиды равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– правильная треугольная призма, , . Найдите площадь полной поверхности призмы.
Площадь равностороннего треугольника со стороной равна , тогда
Таким образом, площадь полной поверхности равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– прямая треугольная призма с основаниями и , причем . Точки и середины рёбер и соответственно. Найдите угол между плоскостями и , если , , . Ответ дайте в градусах.
Прямая , параллельная и проходящая через точку , параллельна и (так как ). Таким образом, лежит в плоскости и в плоскости .
При этом перпендикулярен , следовательно, перпендикулярен . По теореме о трёх перпендикулярах также перпендикулярен , тогда искомый угол равен .
По теореме Пифагора в треугольнике : ,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямой треугольной призме все боковые грани являются квадратами со стороной . Найдите объем призмы.
У квадрата все стороны равны в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники со
сторонами, равными .
Тогда площадь основания:
. Высота призмы равна стороне квадрата,
тогда объем призмы:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная треугольная призма. Площадь основания равна площади одной из боковых граней и
равна . Найдите объем призмы.
Так как призма является правильной, то в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники,
поэтому все боковые грани равны друг другу и являются прямоугольниками. Обозначим
высоту призмы за , а сторону правильного треугольника за . Тогда найдем площадь
основания:
. Высоту выразим из
формулы для площади боковой грани: . Наконец, найдем объем
призмы:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная четырехугольная призма, диагональ которой равна , а диагональ основания равна . Найдите площадь полной поверхности призмы.
Пусть – данная призма. Так как она правильная, то в основании лежит
квадрат и она является прямой. Тогда прямоугольный, следовательно, по теореме
Пифагора
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная описанная около окружности трапеция с боковой стороной, равной , и высотой, равной . Боковое ребро призмы равно . Найдите площадь полной поверхности призмы.
Пусть . Так как трапеция описанная, то суммы противоположных сторон равны,
следовательно, . Следовательно, ее площадь равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана прямая призма , в основании которой лежит равнобедренная трапеция , у которой , а острый угол при основании равен . Пусть – точка пересечения продолжений боковых сторон основания призмы. Найдите, отношение объема призмы к объему прямой призмы, основанием которой является треугольник , если эти призмы имеют равные высоты.
Из условия следует, что нужно найти
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагональ правильной четырехугольной призмы равна и составляет с плоскостью боковой грани угол . Найдите объем призмы.
Так как призма правильная, то она является прямой, а в основании лежит правильный
четырехугольник, то есть квадрат.
Пусть . Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией
на эту плоскость. Так как призма правильная, то – квадрат и все боковые ребра
перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, и , следовательно, по
признаку . Следовательно, – проекция на грань . Следовательно,
.
прямоугольный, как катет, лежащий против угла . Тогда
. Следовательно, по теореме Пифагора из прямоугольного
():
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной призме все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми и Ответ дайте в градусах.
Для того, чтобы найти угол между прямыми, не лежащими в одной плоскости, нужно одну из прямых параллельно перенести в плоскость, в которой лежит вторая прямая. Заметим, что следовательно, угол между прямыми и и есть угол между прямыми и
Поскольку все ребра призмы равны, то грань представляет собой квадрат, где — диагональ. Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырехугольной призме известно, что Найдите угол между диагоналями и Ответ дайте в градусах.
Так как призма четырехугольная и правильная, то в основании лежит квадрат и она прямая. Следовательно, и
Диагонали призмы пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, Так как призма правильная, то диагонали равны, значит, Следовательно, правильный и Это и есть угол между и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана прямая призма , в основании которой лежит равнобедренная описанная около окружности трапеция с боковой стороной , равной . Боковое ребро призмы равно . Отрезок перпендикулярен прямой и равен , причем лежит на прямой . Найдите объем призмы.
По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная перпендикулярна , то и
ее проекция перпендикулярна . Так как – боковая сторона трапеции, то
ее основания – это и . Следовательно, по определению является высотой
трапеции.
Заметим, что прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная треугольная призма площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки
Искомый объем равен разности объема призмы и объема треугольной пирамиды Следовательно, этот объем равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины правильной шестиугольной призмы площадь основания которой равна 6, а боковое ребро 3.
Объем призмы рассчитывается по формуле Площадь треугольника (основания искомой призмы) составляет от площади правильного шестиугольника, значит