Перекладывание камней две кучи
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5).
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 40 или меньше камней.
В начальный момент в первой куче было 20 камней, во второй куче — S камней, \(S > 20.\)
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, т.е не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.
Известно, что Петя выигрывает в первый ход. Укажите максимальное значение \(S,\) когда такая ситуация возможна.
Петя может выиграть первым ходом, если \(S = 21, \ldots , 40.\) Для выигрыша достаточно вдвое уменьшить количество камней во второй куче. При больших значениях \(S\) за один ход нельзя получить 40 или менее камней в двух кучах.
Два игрока, Павел и Виктор, играют в игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди. Первым ходит Павел. За один ход игрок может добавить в первую кучу 7 камней, добавить во вторую кучу 5 камней или удвоить колличество камней в обеих кучах. Например, имея две кучи из 4 и 6 камней, за один ход можно получить кучи (11,6), (4,11) или (8, 12). У каждого игрока имеется неограниченный запас камней. Игра завершается, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 61. Победителем считаается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший в сумме 61 камнень и более.
В начале игры в первой куче было 10 камней, а во второй \(1 \leq S \leq 50\) камней.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Известно, что Павел выигрывает одним ходом, причём он не может выиграть двумя различными способами. Укажите минимальное значение \(S,\) когда такая ситуация возможна.
Наиболее “сильный” ход, который может сделать Павел — это удвоить количество камней в обеих кучах. Тогда наименьшее \(S\) будет равным 21.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (7, 9), (12, 9), (6, 10), (6, 18). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 74. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 74 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 12 камней, во второй куче — \(S\) камней, \(1 \leq S \leq 61.\)
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, т.е не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.
Известно, что Петя выигрывает одним ходом, причём он не может выиграть двумя различными способами. Укажите минимальное значение \(S,\) когда такая ситуация возможна.
Петя может выиграть единственным способом (увеличив количество камней во второй куче в два раза), если \(S = 31, \ldots , 49.\) При меньших значениях \(S\) за один ход нельзя получить 74 или более камней в двух кучах. При \(S \geq 50\) у Пети есть более одного выигрывающего хода (можно удвоить количество камней в любой куче).
