Перекладывание камней одна куча
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 13 камней, за один ход можно получить кучу из 14, 16 или 39 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 99. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 99 или больше камней.
В начальный момент в куче было \(1 \leq S \leq 98.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Известно, что Петя выигрывает в первый ход. Укажите минимальное значение \(S,\) когда такая ситуация возможна.
Петя может выиграть своим первым ходом если \(S = 33, \ldots , 98.\) Во всех этих случаях достаточно утроить количество камней.Наименьшим таким значением является \(S=33.\) При меньших значениях \(S\) за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 98 камней.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 17 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 24. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 24 или больше камней.
В начальный момент в куче было \(1 \leq S \leq 23.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Известно, что Петя выигрывает в первый ход. Укажите минимальное значение \(S,\) когда такая ситуация возможна.
Петя может выиграть, если \(S=12, \ldots ,23.\) При меньших значениях \(S\) за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 23 камней. При \(S<12\) получить за один ход больше 24 камней не возможно.
