Высказывания про числовые отрезки
На числовой прямой даны два отрезка: \(D=[31;54]\) и \(K=[43;72].\)
Отрезок \(A\) таков, что логическое выражение
\( \left( x \in D \right) \rightarrow \left( \left( \neg \left( x \in K \right) \bigwedge \neg \left( x \in A \right) \right) \rightarrow \left( x \in K \right) \right) \)
истинно при любом значении переменной \(x.\)
Какова наименьшая возможная длина отрезка \(A?\)
Введем обозначения: \(K\equiv x\in K,\) \(D\equiv x\in D,\) \(A\equiv x\in A.\)
По правилу преобразования импликации, закону де Моргана и закону тавтологии имеем: \[\begin{aligned}
D \rightarrow \left( \left( \neg K \bigwedge \neg A \right) \rightarrow K \right) \,\,\,\equiv\,\,\,
D \rightarrow \left( \neg \left( \neg K \bigwedge \neg A \right) \bigvee K \right) \,\,\,\equiv\,\,\,
D \rightarrow \left( K \bigvee A \bigvee K \right) \,\,\,\equiv\,\,\, \\
D \rightarrow \left( K \bigvee A \right) \,\,\,\equiv\,\,\, \neg D \bigvee K \bigvee A.\end{aligned}\] Выражение \(\neg D \bigvee K\) не зависит от \(A\) и истинно, если \(x\in (-\infty ; 31) \bigcup [43; + \infty)\) \((x\) одновременно находится вне \(D\) или в \(K).\) 
Исходное выражение будет истинно при любых \(x,\) если \( A \) будет содержать в себе все элементы из множества \( [31;43).\) Значит, наименьшая длина отрезка равна \(43-31=12.\)
На числовой прямой даны два отрезка: \(D=[139;161]\) и \(B=[149;174].\)
Отрезок \(A\) таков, что логическое выражение
\( \left( x\in D \right) \rightarrow \left( \left( \neg \left( x\in B \right) \bigwedge \neg \left( x\in A \right) \right) \rightarrow \neg \left( x\in D \right) \right) \)
истинно при любом значении переменной \(x.\)
Какова наименьшая возможная длина отрезка \(A?\)
Введем обозначения: \(D\equiv x\in D,\) \(B\equiv x\in B\) и \(A \equiv x\in A.\)
По правилу преобразования импликации и закону де Моргана имеем: \[\begin{aligned}
D \rightarrow \left( \left( \neg B \bigwedge \neg A \right) \rightarrow \neg D \right) \,\,\,\equiv\,\,\, \neg D \bigvee \left( \left( \neg B \bigwedge \neg A \right) \rightarrow \neg D \right) \\
\neg D \bigvee \left( \neg \left( \neg B \bigwedge \neg A \right) \bigvee \neg D \right) \,\,\,\equiv\,\,\,
\neg D \bigvee B \bigvee A \bigvee \neg D \,\,\,\equiv\,\,\, A \bigvee \neg D \bigvee B.\end{aligned}\] Выражение \(\neg D \bigvee B\) не зависит от \(A\) и истинно, если \(x\in \left( - \infty ; 139 \right) \bigcup [149 ; + \infty) \) \((x\) одновременно находится в \(B\) или не в \(D).\) 
Исходное выражение будет истинно при любых \(x,\) если \( A \) будет содержать в себе все элементы из множества \( [139;149).\) Значит, наименьшая длина отрезка равна \(149-139=10.\)
На числовой прямой даны два отрезка: \(P=[3;38]\) и \(Q=[21;57].\)
Выберите из предложенных отрезков такой отрезок \(A,\) что логическое выражение
\(\left( \left( x \in P \right) \rightarrow \neg \left( x \in Q \right) \right) \rightarrow \neg \left( x \in A \right) \)
тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной \(x)?\)
1. \([6;20]\)
2. \([21;38]\)
3. \([40;60]\)
4. \([20;40]\)
Введем обозначения: \(P\equiv x\in P,\) \(Q\equiv x\in Q,\) \(A\equiv x\in A.\)
По правилу преобразования импликации и закону де Моргана имеем: \[\begin{aligned}
\left( P \rightarrow \neg Q \right) \rightarrow \neg A \,\,\,\equiv\,\,\, \left( \neg P \bigvee \neg Q \right) \rightarrow \neg A \,\,\,\equiv\,\,\,\\
\neg \left( \neg P \bigvee \neg Q \right) \bigvee \neg A \,\,\,\equiv\,\,\, P \bigwedge Q \bigvee \neg A.\end{aligned}\] Выражение \(P \bigwedge Q\) не зависит от \(A\) и истинно, если \(x\in [21;38]\) \((x\) одновременно находится в \(P\) и в \(Q).\) 
Исходное выражение будет истинно при любых \(x,\) если \(\neg A \) будет содержать в себе дополнение к множеству \(P \bigwedge Q,\) то есть промежуток \((-\infty; 21) \bigcup (38; +\infty).\) Тогда само \(A\) должно лежать внутри множества \([21;38].\)
На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [15; 50]\) и \(Q = [35; 60]\). Укажите наибольшую возможную длину промежутка \(A\), для которого формула
\[(\neg (x \in A) \rightarrow (x \in P)) \rightarrow ((x \in A) \rightarrow (x \in Q))\]
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).
Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:
\[(\neg(x \in A) \rightarrow (x \in P)) \rightarrow ((x \in A) \rightarrow (x \in Q))\] \[((x \in A) \vee (x \in P)) \rightarrow ((x \notin A) \vee (x \in Q))\] \[\neg ((x \in A) \vee (x \in P)) \vee ((x \notin A) \vee (x \in Q))\] \[(x \notin A) \wedge (x \notin P) \vee (x \notin A) \vee (x \in Q)\] \[(x \notin A) \vee (x \in Q)\]
Получается, что \(x\) должен принадлежать \(Q\), либо не принадлежать \(A\). Так как мы ищем наибольшую возможную длину \(A\), необходимо, чтобы он полностью содержался в \(Q\), т.е. максимальная длина отрезка \(A=60-35=25\).
На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [10; 17]\) и \(Q = [15; 25]\). Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), что формула
\[(x \in P) \rightarrow (((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \rightarrow \neg (x \in P))\]
истинна при любом значении переменной \(x\), т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).
Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:
\[\neg (x \in P) \vee (\neg((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \wedge \neg(x \in P))\] \[\neg (x \in P) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee (x \in A)\]
Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=17-15=2\).
На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [5; 35]\) и \(Q = [20; 51]\). Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), что формула
\[(x \in P) \rightarrow (((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \rightarrow \neg (x \in P))\]
истинна при любом значении переменной \(x\), т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).
Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:
\[\neg (x \in P) \vee (\neg((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \wedge \neg(x \in P))\] \[\neg (x \in P) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee (x \in A)\]
Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=35-20=15\).
На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [10; 50]\) и \(Q = [30; 65]\).Отрезок A таков, что приведённая ниже формула истинна при любом значении переменной \(x\):
\[\neg(x \in A) \rightarrow (((x \in P) \wedge (x \in Q)) \rightarrow (x \in A))\]
Какова наименьшая возможная длина отрезка \(A\)?
Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:
\[(x \in A) \vee (\neg (x \in P) \wedge (x \in Q)) \vee A)\] \[\neg(x \in A) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee A\]
Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=50-30=20\).
