Высказывания про числовые отрезки (страница 2)
На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [15; 50]\) и \(Q = [35; 60]\). Укажите наибольшую возможную длину промежутка \(A\), для которого формула
\[(\neg (x \in A) \rightarrow (x \in P)) \rightarrow ((x \in A) \rightarrow (x \in Q))\]
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).
Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:
\[(\neg(x \in A) \rightarrow (x \in P)) \rightarrow ((x \in A) \rightarrow (x \in Q))\] \[((x \in A) \vee (x \in P)) \rightarrow ((x \notin A) \vee (x \in Q))\] \[\neg ((x \in A) \vee (x \in P)) \vee ((x \notin A) \vee (x \in Q))\] \[(x \notin A) \wedge (x \notin P) \vee (x \notin A) \vee (x \in Q)\] \[(x \notin A) \vee (x \in Q)\]
Получается, что \(x\) должен принадлежать \(Q\), либо не принадлежать \(A\). Так как мы ищем наибольшую возможную длину \(A\), необходимо, чтобы он полностью содержался в \(Q\), т.е. максимальная длина отрезка \(A=60-35=25\).
На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [10; 17]\) и \(Q = [15; 25]\). Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), что формула
\[(x \in P) \rightarrow (((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \rightarrow \neg (x \in P))\]
истинна при любом значении переменной \(x\), т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).
Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:
\[\neg (x \in P) \vee (\neg((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \wedge \neg(x \in P))\] \[\neg (x \in P) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee (x \in A)\]
Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=17-15=2\).
На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [5; 35]\) и \(Q = [20; 51]\). Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), что формула
\[(x \in P) \rightarrow (((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \rightarrow \neg (x \in P))\]
истинна при любом значении переменной \(x\), т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).
Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:
\[\neg (x \in P) \vee (\neg((x \in Q) \wedge \neg(x \in A)) \wedge \neg(x \in P))\] \[\neg (x \in P) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee (x \in A)\]
Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=35-20=15\).
На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [10; 50]\) и \(Q = [30; 65]\).Отрезок A таков, что приведённая ниже формула истинна при любом значении переменной \(x\):
\[\neg(x \in A) \rightarrow (((x \in P) \wedge (x \in Q)) \rightarrow (x \in A))\]
Какова наименьшая возможная длина отрезка \(A\)?
Преобразуем данное выражение по законам де Моргана:
\[(x \in A) \vee (\neg (x \in P) \wedge (x \in Q)) \vee A)\] \[\neg(x \in A) \vee \neg(x \in Q) \vee (x \in A)\] \[(x \notin P) \vee (x \notin Q) \vee A\]
Первое и второе выражение будут ложны только тогда, когда \(x\) принадлежит одновременно и \(P\), и \(Q\). Значит, наша задача подобрать такое \(A\), чтобы оно перекравыло область пересечения этих отрезков. Тогда, наименьшая длина \(A=50-30=20\).
