Другие системы счисления

Первый вариант решения
\(173=81+92=81+81+11=81\cdot2+9+2=81\cdot2+9+1\cdot2=2\cdot3^4+1\cdot3^2+2\cdot3^0\). Число 173 представлено в виде суммы троек в различных степенях с коэффициентами 0,1,2. Теперь запишем его в троичной форме - поставим единицы и двойки в тех разрядах, которые отвечают соответствующим коэффициентам при степенях тройки в разложении: \(173=20102_3\). 2 стоит в первом разряде, т.к. в разложении числа 173 по степеням тройки присутствует \(3^0\) с коэффициентом 2, единица стоит в третьем разряде, т.к. в разложении присутствует \(3^2\) с коэффициентом 1, 2 стоит в пятом разряде, т.к. в разложении есть \(3^4\) с коэффициентом 2. В остальных разрядах стоят нули.
Второй вариант решения
Будем составлять троичную запись числа 173 пошагово. Для начала, поймем, какая цифра стоит в первом разряде - 0, 1 или 2. Для этого рассмотрим остаток от деления числа 173 на 3: \(173=3\cdot57+2\) - значит, последняя цифра - 2, а в следующий разряд переходит число 57. Имеем: \(173=\ldots2_3\). Поделим 57 на 3 с остатком: \(57=3\cdot19+0\), значит, во втором разряде остаётся 0, а в третий разряд переходит 19. Имеем: \(173=\ldots02_3\). Поделим 19 на 3 с остатком: \(19=3\cdot6+1\), значит, в третьем разряде остаётся 1, а в четвертый разряд переходит 6. Имеем: \(173=\ldots102_3\). Поделим 6 на 3 с остатком: \(6=3\cdot2+0\), значит, в четвёртом разряде остаётся 0, а в пятый разряд переходит 2. И наконец, поделим 2 на 3 с остатком: \(2=3\cdot0+2\), значит, в пятом разряде остаётся 2, а в шестой разряд ничего не переходит. Имеем: \(173=20102_3\), и наш процесс завершён.

Для понимания этого метода, следует представить себе перевод в троичную систему счисления как процесс упаковки. Представьте, что вы собрали на даче 173 яблока. Представим себе также, что вас ужасают числа, большие двух, и вам очень не хотелось бы вслух произносить не только число “сто семьдесят три”, но и даже просто число “три”. Зато у вас есть множество маленьких коробочек, в каждую из которых вмещается три яблока. Попробуем уложить все 173 яблока в эти коробочки (деление с остатком: \(173=3\cdot57+2\)) - получится 57 коробочек и два яблока. Теперь нам не страшно говорить “два яблока”, поскольку мы не боимся говорить “два”, а вот количество получившихся коробочек вызывает у нас проблемы. К счастью, у нас есть ящики, в каждый из которых вмещаются три коробки. Попробуем разложить 57 коробок в ящики (деление с остатком: \(57=3\cdot19+0\)), получим ровно 19 ящиков и 0 оставшихся коробок. Говорить “ноль коробок и два яблока” - не проблема, а вот 19 ящиков - проблема. Хорошо, что у нас есть тележки, на каждую из которых помещается три ящика. Получим 6 тележек, 1 ящик, 0 коробок, 2 яблока. Тележек многовато (больше двух), поэтому продолжим упаковывать. У нас есть кузова, в каждый из которых помещается три тележки. Имеем 2 кузова, 0 тележек, 1 ящик, 0 коробок, 2 яблока. Обратите внимание, что во всём этом длинном списке ни одно число не превышает 2. Если записать эти числа без коробок и ящиков, получится: 20102 - это как раз число 173 в троичной системе счисления. Именно ТРОИЧНАЯ система счисления заставляет нас бояться чисел “ТРИ” и больше, и именно ТРОИЧНАЯ система счисления определяет вместимость всех ящиков и коробок - в коробку помещается ТРИ яблока, в ящик - ТРИ коробки и т.д.

Первый вариант решения
\(215=64+151=64+64+64+23=3\cdot64+2\cdot8+7=3\cdot8^2+2\cdot8+7\cdot8^0\). Число 215 представлено в виде суммы числа 8 в различных степенях. Теперь запишем его в восьмеричной форме - поставим такие же цифры в соответствующих разрядах, как и коэффициенты при степенях числа 8 в разложении: \(215=327_8\). Цифра 7 стоит в первом разряде, т.к. в разложении числа 215 по степеням числа 8 присутствует \(8^0\) с коэффициентом 7, цифра 2 стоит во втором разряде, т.к. в разложении есть \(8^1\) с коэффициентом 2, цифра 3 стоит в третьем разряде, т.к. в разложении присутствует \(8^2\) с коэффициентом 3. Больше в разложении ничего нет.
Второй вариант решения
Будем составлять восьмеричную запись числа 215 пошагово.

• \(215=8\cdot26+7\)

• \(26=8\cdot3+2\)

• \(3=8\cdot0+3\)

Записываем остатки подряд от последнего равенства к первому, получаем \(215=327_8\)

Для начала, напомним, что в шестнадцатеричной системе счисления буквы A,B,C,D,E,F используются как цифры, идущие после цифры 9. Условно говоря, это аналоги цифр “10”,“11”,“12”,“13”,“14”,“15” соответственно. Просто наши арабские цифры подстроены под десятичную систему счисления, и у нас нет специальных символов для “цифры 10” - мы обозначаем число, идущее после 9 с помощью двух цифр - 1 и 0. В шестнадцатеричной же системе счисления, всё, что меньше 16, считается “цифрой”, и требует специального символа для обозначения. Отсюда и буквы A,B,C,D,E,F.
Первый вариант решения
\(\text{AAF8B}_{16}=10\cdot16^4+10\cdot16^3+15\cdot16^2+8\cdot16^1+11\cdot16^0=10\cdot65536+10\cdot4096+15\cdot256+8\cdot16+11=\\\) \(=655360+40960+3840+128+11=700299\)
Второй вариант решения
Будем восстанавливать десятичное число из шестнадцатеричного \(\text{AAF8B}_{16}\) пошагово:

• Перенесём цифру A (10) из старшего разряда (пятого) в четвертый: \(\text{A}\cdot16+\text{A}=10\cdot16+10=170\) - прибавление A (10) отвечает цифре A в четвёртом разряде шестнадцатеричного числа.

• Перенесём полученное число 170 из четвертого разряда в третий: \(170\cdot16+\text{F}=170\cdot16+15=2735\) - прибавление F (15) отвечает цифре F в третьем разряде шестнадцатеричного числа.

• Перенесём полученное число 2735 из третьего разряда во второй: \(2735\cdot16+8=43768\) - мы добавили 8, так как в исходном шестнадцатеричном числе во втором разряде была цифра 8.

• Перенесём полученное число 43768 из второго разряда в первый: \(43768\cdot16+\text{B}=43768\cdot16+11=700299\)

На каждом шаге мы умножали число из предыдущего разряда на 16, а затем добавляли некоторое число от 0 до 15 в зависимости от того, какая цифра стоит в этом разряде в шестнадцатеричной записи.

Запишем все числа от 8 до 14 включительно в троичной системе счисления:

• \(8=22_3\)

• \(9=100_3\)

• \(10=101_3\)

• \(11=102_3\)

• \(12=110_3\)

• \(13=111_3\)

• \(14=112_3\)

Легко заметить, что две единицы в двоичной записи содержат десятичные числа 10, 12 и 14. В задаче требуется указать наименьшее такое число, поэтому ответ - \(10_{10}\). Осталось перевести 10 в восьмеричную систему счисления: \(10_{10}=12_8\)

Выпишем несколько самых маленьких трёхзначных чисел в двоичной системе счисления:

• \(100=64_{16}\)

• \(101=65_{16}\)

• \(102=66_{16}\)

• \(103=67_{16}\)

• ...

Легко заметить, что простым перебором мы не скоро найдём две цифры A в записи числа. Заметим, что искомое число должно быть не меньше, чем \(\text{AA}_{16}\), иначе в нём не найдутся две цифры A. При этом, само число \(\text{AA}_{16}=A\cdot16+A=10\cdot16+10=170_{10}\) является трёхзначным и содержит две цифры A в шестнадцатеричной записи. Соответственно, \(170_{10}\) является искомым числом. Осталось перевести его в троичную систему счисления:
\(170_{10}=2\cdot81+0\cdot27+0\cdot9+2\cdot3+2\cdot1=20022_3\)

Переведём числа \(1400_5\) и \(633_7\) в десятичную систему счисления:

• \(1400_5=225\)

• \(633_7=318\)

Таким образом, необходимо найти количество натуральных решений неравенства \(225<x<318\). Их легко перечислить, но мы посчитаем иначе: от 225 до 318 находится \((318-225)+1=94\) чисел. Поскольку неравенства строгие, то концы отрезка \([225;318]\) не учитываются, то есть \(x\ne225\) и \(x\ne318\). Поэтому из всех чисел от 225 до 318 подходит только \(94-2=92\) числа.

Переведём числа \(\text{FF1}_{16}\) и \(20212012_3\) в десятичную систему счисления:

• \(\text{FF1}_{16}=4081\)

• \(20212012_3=5000\)

Таким образом, необходимо найти количество натуральных решений неравенства \(4081<x<5000\). Их нелегко перечислить, поэтому мы посчитаем иначе: от 4081 до 5000 находится \((5000-4081)+1=920\) чисел. Поскольку неравенства строгие, то концы отрезка \([4081;5000]\) не учитываются, то есть \(x\ne4081\) и \(x\ne5000\). Поэтому из всех чисел от 4081 до 5000 подходит только \(920-2=918\) чисел.