Двоичная система счисления (страница 2)

В двоичной системе счисления, любое число вида \(2^k\) имеет вид \(100\ldots00_2\), где после единицы идёт ровно \(k\) нулей. Соответственно, сумма \(2^{43}+2^{14}+2\) не создаст переполнения ни в одном разряде, и будет иметь вид \(100\ldots00100\ldots10_2\) с единицами ровно на 44, 15 и 2 месте.

В двоичной системе счисления, любое число вида \(2^k\) имеет вид \(100\ldots00_2\), где после единицы идёт ровно \(k\) нулей. Соответственно, сумма \(2^{100}+2^{48}+2^{32}+2^{13}+2^7+2+1\) не создаст переполнения ни в одном разряде, и будет иметь вид \(10..010..010..010..010..11_2\) с единицами ровно на 101, 49, 33, 14, 8, 2 и 1 месте.

Переведем 37 в двоичную систему счисления. Можем сделать это двумя способами: 1) делить на 2 и смотреть на остатки, 2) разложить число на степени двойки.

1) Будем делить 37 на 2 и запоминать остатки от деления. Запись 37 % 2 = 1 означает, что остаток от деления 37 на 2 = 1.

\(\frac{37}{2}\) = 18 + 0,5. Запоминаем 37 % 2 = 1. Дальше делим полученную целую часть.

\(\frac{18}{2}\) = 9. Запоминаем 18 % 2 = 0.

\(\frac{9}{2}\) = 4 + 0,5. Запоминаем 9 % 2 = 1.

\(\frac{4}{2}\) = 2. Запоминаем 4 % 2 = 0.

\(\frac{2}{2}\) = 1. Запоминаем 2 % 2 = 0.

\(\frac{1}{2}\) = 0 + 0,5. Запоминаем 1 % 2 = 1.

Итак, мы запомнили 1, 0, 1, 0, 0, 1. Теперь записываем эти остатки в обратном порядке и получаем нужное число: 100101.

2) Запишем все степени двойки, не превосходящие 37, с соответствующими коэффициентами:

37 = 1 \(\cdot\) \(2^5\) + 0 \(\cdot\) \(2^4\) + 0 \(\cdot\) \(2^3\) + 1 \(\cdot\) \(2^2\) + 0 \(\cdot\) \(2^1\) + 1 \(\cdot\) \(2^0.\)

Теперь запишем эти коэффициенты. Это 100101.

Теперь считаем количество единиц в полученной записи. Это 3.

Переводить делением данное число долго (но пример такого перевода в более легких примерах с маленькими числами), поэтому будем переводить, используя степени двойки.

Запишем 1127 как сумму степеней двойки, начиная со степени, не превосходящей 1127:

\(1127 = 1 \cdot 1024 + 0 \cdot 512 + 0 \cdot 256 + 0 \cdot 128 + 1 \cdot 64 + 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1.\)

Запишем коэффициенты при степенях двойки получим двоичную запись числа: 10001100111.

Посчитаем количество единиц — 6.

Переводить делением данное число долго (но пример такого перевода в более легких примерах с маленькими числами), поэтому будем переводить, используя степени двойки.

454 = 1 \(\cdot\) 256 + 1 \(\cdot\) 128 + 1 \(\cdot\) 64 + 0 \(\cdot\) 32 + 0 \(\cdot\) 16 + 0 \(\cdot\) 8 + 1 \(\cdot\) 4 + 1 \(\cdot\) 2 + 0 \(\cdot\) 1.

Запишем коэффициенты при степенях двойки получим двоичную запись числа: 111000110.

Всего единиц 5.

Так как мы ищем наибольшее число, начнем переводить в двоичную систему счисления с конца.

8 = 1000

7 = 111

Итак, мы нашли искомое число, и оно является максимальным среди удовлетворяющих условиям (возможно, и единственное). Значит, оно идет в ответ.

1) Так как ответ нужно дать в десятичной системе счисления, можем перевести данные числа в десятичную систему счисления и произвести вычитание в двоичной системе счисления. Тогда 1110011 = 115 (начинаем считать разряды с нуля справа налево и складывать цифры, умноженные на 2 в степени разряда, то есть 1 \(\cdot 2^0 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^6 = 1 + 2 + 16 + 32 + 64 = 115),\) 10001 = 17. Разность: 115 - 17 = 98.

2) Можем сначала вычесть в двоичной системе счисления, а потом перевести. Тогда вычтем в столбик аналогично вычитанию в десятичной системе счисления: начинаем справа, записываем числа друг под другом, вычитаем и в случае необходимости ”занимаем” у старшего разряда:

и получим 1100010 переведем в десятичную систему счисления и получим 98.