Сложные логические выражения (страница 2)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \vee y) \wedge (z \rightarrow (\overline x \wedge y))\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Для того, чтобы \(F = 0,\) конъюнкция должна быть ложной. Рассмотрим первую строчку. Предположим, что \(x\) занимает первый столбец. Тогда \((z \rightarrow (\overline x \wedge y)) = 1, \; (x \vee y) = 1,\) а это значит, что \(F = 1.\) Если \(y\) занимает первый столбец, то конъюнкция будет также истинна. Следовательно, первый столбец занимает переменная \(z.\)
2. Рассмотрим вторую строчку. Если \(x\) занимает второй столбец, а \(y\) третий, то обе скобки будут истинны, а значит, и конъюнкция будет истинна. Значит, \(y\) занимает второй столбец, а \(x\) занимает третий столбец.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((z \equiv x) \vee ((z \vee y) \rightarrow x)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{0} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Рассмотрим первую строчку данного фрагмента. Предположим, что все переменные принимают значение 0, следовательно, \((z \equiv x) = 1,\) а значит, \(F = 1.\) Значит все переменные не могут быть равны 0. То есть во второй ячейке первой строки находится 1. Заметим, что для \(F = 0\) переменные \(z, \; x\) должны принимать разные значения. Значит во второй ячейке первой строки находится одна из этих переменных. Предположим, что это место занимает \(x.\) Однако тогда импликация во второй скобке будет истинной, а значит, и вся дизъюнкция будет истинной. Следовательно, второй столбец занят переменной \(z.\)
2. Рассмотрим вторую строчку. Если третью ячейку этой строки занимает 0, то вторую ячейку должна занять 1, а значит, строчка совпадет со второй строкой. Значит третью ячейку занимает 1. Две другие ячейке не могут быть одновременно нулями, следовательно, вторую ячейку занимает 1. Предположим, что в первом столбце \(y.\) Но мы поняли, что \(z\) и \(x\) должны принимать равные значения (а в данном случае обе переменные равны 1). Следовательно, первый столбец занимает \(x,\) а третий столбец занимает \(y.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \wedge y) \equiv (\overline z \equiv x) \)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Рассмотрим вторую строку фрагмента таблицы истинности. Предположим, что \(y\) занимает третий столбец. Тогда \((x \wedge y) = 0, \; (\overline z \equiv x) = 0,\) а значит, \(F = 1.\) Если \(z\) занимает третий столбец, то эквивалентность будет истинна, так как обе скобки будут истинными. Следовательно, третий столбец занимает переменная \(x.\)
2. Используем первую строку: \(x = 0\) в ней. Значит, первая скобка будет принимать значение 0. Тогда для того, чтобы эквивалентность была ложной, надо, чтобы вторая скобка была истинна. Это будет достигнуто, если \(z = 1.\) Следовательно, переменная \(z\) занимает первый столбец, а \(y\) занимает второй.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(z \wedge \overline {(y \equiv z)} \wedge (y \rightarrow x)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) истинна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{???} & 1 & ??? & 1 \\ \hline \text{???} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Для истинности выражения \(z = 1.\) Этому будет удовлетворять только первый столбец, так как в остальных присутствует 0.
2. Для истинности второй скобки переменные \(y, \; z\) должны быть представлены разными значениями. Для этого рассмотрим первую строчку. Раз в ней \(z = 1,\) то \(y = 0.\) А это значит, что третья ячейка равна 0, а также третий столбец занимает переменная \(y.\) Значит второй столбец занят переменной \(x.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((\overline y \vee \overline x) \equiv z) \wedge (x \rightarrow y) \)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Заметим, что конъюнкция истинна будет истинна, если каждая из скобок будет истинной. Обратим внимание на первую строку. Предположим, что \(x\) занимает первый столбец. В таком случае \(y = 0,\) а значит, импликация во второй скобке будет ложной. Если \(y\) занимает первый столбец эквивалентность в первой скобке будет истинной. Следовательно, первый столбец занят переменной \(z.\)
2. Обратим внимание на вторую строчку. Заметим, что если \(x = 1, \; y = 0,\) то импликация во второй скобке будет ложной. Это означает, что тертий столбец может занимать переменная \(y\), а второй столбец занимать переменная \(x.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((\overline y \vee \overline z) \rightarrow (z \equiv x)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{???} & 1 & 1 & 0 \\ \hline \text{???} & ??? & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Заметим, что все переменные не могут быть принимать значение 1 одновременно, так как тогда вторая скобка будет истинной, а значит, импликация будет истинной. Значит в первой ячейке первой строки находится 0. Предположим, что первый столбец занимает \(x.\) Но в таком случае дизъюнкция в первой скобке будет ложной (так как \(y = 1, \; z = 1\)), а это значит что \(F = 1.\) Если в первом столбце представлена переменная \(y,\) то переменные \(x, \; z\) будут равны, то есть эквивалентность будет истинной, а \(F = 1.\) Значит в первом столбце находится переменная \(z.\)
2. Рассмотрим вторую строчку теперь. Если \(z = 1,\) то \(y = 0\) (чтобы дизъюнкция была истинной), а \(x = 0.\) Но данный набор не подходит под вторую строку. Значит, \(z = 0\) во второй строке, \(x = 1,\) \(y = 0\) (чтобы строки не повторялись). Значит, \(x\) занимает третий столбец, а \(y\) занимает второй.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((x \rightarrow \overline z) \equiv (\overline x \vee \overline y)) \wedge (y \rightarrow z) \)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
Конъюнкция будет ложна, если хотя бы одна из скобок будет ложной. Рассмотрим вторую скобку. Импликация будет ложной, если \(y = 1, \; z = 0.\) Если при этом \(x = 0,\) то эквивалентность будет истинной. В случае, если \(x = 1,\) то \(F = 0\) также. Заметим, что этим двум наборам переменных удовлетворяет первая и третья строчки, причём переменные расположены в порядке \(x, \; y, \; z.\) Проверим, подходит ли данный набор переменных под вторую строку. Импликация во второй скобке будет истинной, а вот эквивалентность в первой скобке будет ложной. Значит и \(F = 0.\) Значит, данное расположение переменных удовлетворяет условию.
