2. Таблицы истинности

Сложные логические выражения (страница 3)

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела 2. Таблицы истинности:

Это старая версия каталога задач

Нажмите для перехода на новую версию

Решаем задачи
Задание 15 #14612

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((z \equiv x) \vee ((z \vee y) \rightarrow x)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{0} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

1. Рассмотрим первую строчку данного фрагмента. Предположим, что все переменные принимают значение 0, следовательно, \((z \equiv x) = 1,\) а значит, \(F = 1.\) Значит все переменные не могут быть равны 0. То есть во второй ячейке первой строки находится 1. Заметим, что для \(F = 0\) переменные \(z, \; x\) должны принимать разные значения. Значит во второй ячейке первой строки находится одна из этих переменных. Предположим, что это место занимает \(x.\) Однако тогда импликация во второй скобке будет истинной, а значит, и вся дизъюнкция будет истинной. Следовательно, второй столбец занят переменной \(z.\)

2. Рассмотрим вторую строчку. Если третью ячейку этой строки занимает 0, то вторую ячейку должна занять 1, а значит, строчка совпадет со второй строкой. Значит третью ячейку занимает 1. Две другие ячейке не могут быть одновременно нулями, следовательно, вторую ячейку занимает 1. Предположим, что в первом столбце \(y.\) Но мы поняли, что \(z\) и \(x\) должны принимать равные значения (а в данном случае обе переменные равны 1). Следовательно, первый столбец занимает \(x,\) а третий столбец занимает \(y.\)

Ответ: xzy
Задание 16 #14611

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((x \vee y) \wedge (z \rightarrow (\overline x \wedge y))\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

1. Для того, чтобы \(F = 0,\) конъюнкция должна быть ложной. Рассмотрим первую строчку. Предположим, что \(x\) занимает первый столбец. Тогда \((z \rightarrow (\overline x \wedge y)) = 1, \; (x \vee y) = 1,\) а это значит, что \(F = 1.\) Если \(y\) занимает первый столбец, то конъюнкция будет также истинна. Следовательно, первый столбец занимает переменная \(z.\)

2. Рассмотрим вторую строчку. Если \(x\) занимает второй столбец, а \(y\) третий, то обе скобки будут истинны, а значит, и конъюнкция будет истинна. Значит, \(y\) занимает второй столбец, а \(x\) занимает третий столбец.

Ответ: zyx
Задание 17 #14610

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((x \equiv (\overline y \vee z)) \rightarrow (x \wedge y)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

1. Импликация будет ложна, когда первая скобка будет истинна, а вторая будет ложна. Рассмотрим третью строчку. Предположим, что \(x\) занимает третий столбец. Но тогда первая скобка будет ложной, а значит, импликация будет истинной. Если \(z\) занимает третий столбец, то аналогично первая скобка будет ложной, и, как следствие, импликация будет истинной. Значит, можно убедиться в том, что \(y\) занимает третий столбец в данном фрагменте таблицы истинности.

2. Обратимся ко второй строке. Рассмотрим два варианта: когда \(x = 1, \; z = 0,\) и вариант, когда \(x = 0, \; z = 1.\) Во втором случае первая скобка будет ложной, а значит, импликация будет истинной. Из этого можно сделать вывод, что подойдёт первый вариант, \(x\) будет занимать первый столбец, а \(z\) занимать второй.

Ответ: xzy
Задание 18 #14609

Логическая функция \(F\) задаётся выражением:

\((\overline x \vee y \vee \overline z) \wedge (\overline x \equiv (\overline y \vee z))\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & 1 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)

Показать решение

1. Конъюнкция истинна, когда обе скобки будут истинны. Обратим внимание на вторую и третью строчки. Они примечательны тем, что в них \(F = 1\) тогда, когда две переменные принимают значение 1, а третья переменная значение 0. Заметим, что если \(y = 0, \; z = 1, \; x = 1,\) то \(F = 0,\) так как первая скобка будет ложной. Используя вторую и третью строчки, мы поймём, что \(y\) не может занимать первый и второй столбец, следовательно, \(y\) занимает третий столбец.

2. Обратимся к первой строчке. В ней \(y = 0.\) Следовательно, \((\overline y \vee z) = 1.\) В таком случае \(x = 0\) для истинности эквивалентности. Значит, \(x\) занимает первый столбец, а \(z\) занимает второй.

Ответ: xzy
Задание 19 #10049

Логическая функция \(F\) задаётся выражением \(((x \vee y) \wedge (\overline x \vee y) \wedge (\overline x \vee \overline y) \wedge z \wedge (z \vee y)) \vee (\overline x \wedge \overline z)\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых функция \(F\) истинна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&??? & ???& F\\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x,\) \(y,\) \(z.\)

Показать решение

Упростим \((x \vee y) \wedge (\overline x \vee y) \wedge (\overline x \vee \overline y).\) По закону дистрибутивности \((x \vee y) \wedge (\overline x \vee y)\) = \(y \vee (x \wedge \overline x).\) \(x \wedge \overline x = 0\) при любом значении \(x\) (если \(x = 0,\) то \(\overline x = 1\) и \(1 \wedge 0 = 0.\) Если \(x = 1,\) то \(\overline x = 0\) и \(0 \wedge 1 = 0).\) Тогда \(y \vee (x \wedge \overline x) = y \vee 0 = y.\) Теперь упрощаемое выражение выглядит так: \(y \wedge (\overline x \vee \overline y).\) По закону дистрибутивности это равносильно \((y \wedge \overline x) \vee (y \wedge \overline y) = (y \wedge \overline x) \vee 0 = y \wedge \overline x.\)

Упростим \(z \wedge (z \vee y).\) По закону поглощения данное выражение равно \(z\) (докажем это, применив несколько раз закон дистрибутивности: выражение равносильно \((z \wedge z) \vee (z \wedge y) = z \vee (z \wedge y) = z \wedge (1 \vee y) = z.\) \(1 \vee y = 1\) при любом значении \(y,\) так как дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний, входящих в нее).

Тогда теперь логическая функция выглядит так: \(F = (y \wedge \overline x \wedge z) \vee (\overline x \wedge \overline z).\) Последний раз преобразуем функцию, чтобы она выглядела еще приятнее, по закону дистрибутивности: \((\overline x \wedge z \wedge y) \vee (\overline x \wedge \overline z) = \overline x \wedge ((y \wedge z) \vee \overline z).\)

Во всех строках представленного фрагмента \(F = 1.\) Конъюнкция истинна, если истинны все высказывания, входящие в нее. Тогда \(\overline x = 1\) \((x = 0)\) и \(((y \wedge z) \vee \overline z) = 1.\) Мы уже можем сделать вывод, что третьему столбцу соответствует \(x,\) так как это единственный столбец, в котором нет единиц.

Рассмотрим высказывание \((y \wedge z) \vee \overline z.\) Это дизъюнкция, которая истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний, входящих в нее, то есть если \(y \wedge z = 1\) и/или \(\overline z = 1.\) Для удобства составим таблицу истинности для функции \(G = (y \wedge z) \vee \overline z.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline y & z & \text{$(y \wedge z) \vee \overline z$}\\ \hline 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Таким образом, под условие подходят следующие наборы \((y, \; z)\): (0, 0), (1, 0), (1, 1).

Сопоставим это с фрагментом таблицы истинности из условия и поймем, что первому столбцу соответствует \(y,\) второму — \(z.\)

Ответ: yzx
Задание 20 #10048

Логическая функция \(F\) задаётся выражением \((y \equiv (z \vee x)) \vee ((z \rightarrow w) \wedge (x \rightarrow z)).\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых функция \(F\) ложна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline ???&??? & ???& ??? & F\\ \hline 1 & ??? & ??? & 1 & 0 \\ \hline ??? & ??? & ??? & 1 & 0 \\ \hline 1 & ??? & 1 & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x,\) \(y,\) \(z, \; w.\)

Показать решение

Выражение содержит два операнда, связанных дизъюнкцией. В приведенном фрагменте \(F = 0\) во всех строках. Дизъюнкция ложна, если все высказывания, входящие в нее, ложны. Таким образом, нам необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

\(y \equiv (z \vee x) = 0\) (1)

\((z \rightarrow w) \wedge (x \rightarrow z) = 0\) (2)

Чтобы операция эквивалентности (1) была ложна, одно высказывание должно быть ложным, а другое истинным. Тогда \(y = 0\) и \(z \vee x = 1\) или \(y = 1\) и \(z \vee x = 0.\)

Рассмотрим вначале случай, когда \(y = 0.\) Тогда \(z \vee x\) должно быть истинно. Чтобы дизъюнкция была истинна, хотя бы одно из высказываний, входящих в нее, должно быть истинно, то есть \(z = 1\) и/или \(x = 1.\) Так как получается несколько случаев, составим таблицу истинности для \(y = 0\) и различных значений \(z\) и \(x.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&y & z& z \vee x& y \equiv (z \vee x)\\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Видим, что \((y \equiv (z \vee x)) = 0\) для следующих наборов \((y,\) \(z,\) \(x:)\) (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1).

Проверим, ложно ли \((z \rightarrow w) \wedge (x \rightarrow z)\) при данных значениях \((y,\) \(z,\) \(x).\)

Конъюнкция (2) ложна, если хотя бы одно высказывание, входящее в нее, ложно, значит, \(z \rightarrow w = 0\) и/или \(x \rightarrow z = 0.\) Импликация ложна, если из истины следует ложь \((1 \rightarrow 0),\) и истинна во всех остальных случаях. Подставим первый набор \((y,\) \(z,\) \(x)\) = (0, 1, 0) в (2): \((1 \rightarrow w) \wedge (0 \rightarrow 1) = 1 \rightarrow w.\) Чтобы одно из высказываний, входящих в конъюнкцию, было ложно, \(w = 0\) (иначе \(1 \wedge 1 = 1).\) Значит, нам подходит такой набор \((x, \; y, \; z, \; w)\) = (0, 0, 1, 0). Подставим второй набор (0, 0, 1) в (2): \((0 \rightarrow w) \wedge (1 \rightarrow 0) = 1 \wedge 0 = 0.\) Так как \(0 \rightarrow w\) истинно при любом \(w,\) то есть еще два подходящих набора: (1, 0, 0, 0) и (1, 0, 0, 1). Наконец, подставим третий набор (0, 1, 1): \((1 \rightarrow w) \wedge (0 \rightarrow 1) = (1 \rightarrow w) \wedge 1 = (1 \rightarrow w.\) Если \(w = 0,\) то \(1 \rightarrow w = 1 \rightarrow 0 = 0.\) Еще один подходящий набор (1, 0, 1, 0). Если \(w = 1,\) то \(1 \rightarrow w = 1 \rightarrow 1 = 1,\) что нам не подходит.

Теперь рассмотрим случай, когда \(y = 1.\) Чтобы высказывание (1) было ложно, \(z \vee x\) должно быть ложно. Дизъюнкция ложна, если ложны все высказывания, входящие в нее, значит \(z = 0\) и \(x = 0.\) Подставим в (2): \((0 \rightarrow w) \wedge (0 \rightarrow 0) = 1 \wedge 1 = 1.\) Получается, что (2) истинно при любом значении \(w,\) что нам не подходит.

Выпишем строки таблицы истинности, где \(F = 0.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&y & z & w & F\\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \hline \end{array}\]

Таблица (*).

Видим, что во всех четырех строках составленной таблицы истинности \(y = 0.\) Единственным столбцом фрагмента таблицы истинности из условия, в котором нет нулей, является второй. Значит, второму столбцу соответствует \(y.\)

Также заметим, что в фрагменте таблицы истинности из условия во всех столбцах, кроме второго и третьего, по две единицы. Если посмотреть на таблицу (*), то увидим, что \(w = 1\) только в одной строке. Так как второй столбец — это \(y,\) то третий - это \(w.\)

Мы можем определить, что третья строка фрагмента соответствует второй строке таблицы (*) (так как там \(w = 1).\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&y & z & w & F\\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ \hline \end{array}\]

Тогда в четвертом столбце должен быть ноль. В этой строке только две переменных равны нулю \((z\) и \(y),\) но соответствие \(y\) уже определено. Значит, четвертому столбцу соответствует \(z.\)

Тогда \(x\) — это первый столбец.

Ответ: xywz
Задание 21 #10045

Логическая функция \(F\) задаётся выражением \(((x \rightarrow y) \equiv (z \rightarrow w)) \vee (x \wedge w).\)

Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых функция \(F\) ложна.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline ???&???&???& ???& F\\ \hline 1 & ??? & ??? & ??? & 0 \\ \hline 1 & 1 & ??? & ??? & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(w,\) \(x,\) \(y,\) \(z.\)

Показать решение

В приведенном фрагменте во всех строках \(F = 0.\) Функция представляет из себя два операнда дизъюнкции. Так как дизъюнкция ложна, если ложны все высказывания, входящие в нее, то (\((x \rightarrow y) \equiv (z \rightarrow w))\) = 0 и \(x \wedge w = 0.\)

Если \(((x \rightarrow y) \equiv (z \rightarrow w)) = 0,\) то одно из высказываний должно быть ложным, а другое истинным (так как операнды связаны между собой операцией эквивалентности). Каждый из операндов представляет собой импликацию, которая ложна, если из истины следует ложь, и истинна в остальных случаях.

Если \((x \rightarrow y) = 0,\) то \(x = 1,\) \(y = 0,\) а \((z \rightarrow w) = 1.\) Так как \(x \wedge w = 0,\) а \(x = 1,\) то \(w\) должна быть ложна (так как конъюнкция ложна, если ложно хотя бы одно из высказываний, входящих в нее). Тогда чтобы \((z \rightarrow w)\) была истинна, \(z\) тоже должна быть ложна (иначе \(1 \rightarrow 0 = 0).\) Значит, в таком случае \(x = 1, \; y = 0, \; w = 0, \; z = 0.\)

Если \((x \rightarrow y) = 1,\) то \((z \rightarrow w) = 0.\) Значит, \(z = 1, \; w = 0.\) Тогда \(x \wedge w = x \wedge 0 = 0\) при любом \(x.\) Составим таблицу истинности для \(z = 1\) и \(w = 0:\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&y & z & w & F\\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Из таблицы видим, что нам не подходит только последняя строка, так как при таких \(x\) и \(y\) эквивалентность истинна, следовательно, одно из выражений, входящих в дизъюнкцию, тоже истинно.

Мы разобрали все случаи, при которых функция ложна. Выпишем строки таблицы истинности, где \(F = 0.\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&y & z & w & F\\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Таблица 1.

Сопоставим таблицу 1 и фрагмент, приведенный в условии. Рассмотрим данную строку:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&y & z & w & F\\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]

В ней все переменные равны 1 и только \(w = 0.\) В третьей строке фрагмента из условия тоже есть три единицы и один ноль. Значит, четвертый столбец — это \(w.\)

Аналогично и с этой строкой:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&y & z & w & F\\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Во второй строке фрагмента из условия тоже две единицы. Мы уже знаем, что четвертому столбцу соответствует \(w,\) значит, третьему столбцу соответствует \(x,\) который должен быть равен нулю.

Осталось определить первый и второй столбцы. В фрагменте таблицы истинности из условия первый столбец всегда равен единице. Если внимательно посмотреть на таблицу 1, то можно увидеть, что \(z\) равна 1 в трех строках. Остальные переменные равны 1 в двух строках и менее. Значит, \(z\) - это первый столбец фрагмента таблицы истинности из условия. Так как переменных всего 4, а три мы уже определили, то второй столбец — это \(y.\)

Ответ: zyxw
12

3

4

...

7
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!