Сложные логические выражения (страница 5)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(z \wedge \overline {(y \equiv z)} \wedge (y \rightarrow x)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) истинна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{???} & 1 & ??? & 1 \\ \hline \text{???} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Для истинности выражения \(z = 1.\) Этому будет удовлетворять только первый столбец, так как в остальных присутствует 0.
2. Для истинности второй скобки переменные \(y, \; z\) должны быть представлены разными значениями. Для этого рассмотрим первую строчку. Раз в ней \(z = 1,\) то \(y = 0.\) А это значит, что третья ячейка равна 0, а также третий столбец занимает переменная \(y.\) Значит второй столбец занят переменной \(x.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((\overline y \vee \overline x) \equiv z) \wedge (x \rightarrow y) \)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Заметим, что конъюнкция истинна будет истинна, если каждая из скобок будет истинной. Обратим внимание на первую строку. Предположим, что \(x\) занимает первый столбец. В таком случае \(y = 0,\) а значит, импликация во второй скобке будет ложной. Если \(y\) занимает первый столбец эквивалентность в первой скобке будет истинной. Следовательно, первый столбец занят переменной \(z.\)
2. Обратим внимание на вторую строчку. Заметим, что если \(x = 1, \; y = 0,\) то импликация во второй скобке будет ложной. Это означает, что тертий столбец может занимать переменная \(y\), а второй столбец занимать переменная \(x.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((\overline y \vee \overline z) \rightarrow (z \equiv x)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{???} & 1 & 1 & 0 \\ \hline \text{???} & ??? & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Заметим, что все переменные не могут быть принимать значение 1 одновременно, так как тогда вторая скобка будет истинной, а значит, импликация будет истинной. Значит в первой ячейке первой строки находится 0. Предположим, что первый столбец занимает \(x.\) Но в таком случае дизъюнкция в первой скобке будет ложной (так как \(y = 1, \; z = 1\)), а это значит что \(F = 1.\) Если в первом столбце представлена переменная \(y,\) то переменные \(x, \; z\) будут равны, то есть эквивалентность будет истинной, а \(F = 1.\) Значит в первом столбце находится переменная \(z.\)
2. Рассмотрим вторую строчку теперь. Если \(z = 1,\) то \(y = 0\) (чтобы дизъюнкция была истинной), а \(x = 0.\) Но данный набор не подходит под вторую строку. Значит, \(z = 0\) во второй строке, \(x = 1,\) \(y = 0\) (чтобы строки не повторялись). Значит, \(x\) занимает третий столбец, а \(y\) занимает второй.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((x \rightarrow \overline z) \equiv (\overline x \vee \overline y)) \wedge (y \rightarrow z) \)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
Конъюнкция будет ложна, если хотя бы одна из скобок будет ложной. Рассмотрим вторую скобку. Импликация будет ложной, если \(y = 1, \; z = 0.\) Если при этом \(x = 0,\) то эквивалентность будет истинной. В случае, если \(x = 1,\) то \(F = 0\) также. Заметим, что этим двум наборам переменных удовлетворяет первая и третья строчки, причём переменные расположены в порядке \(x, \; y, \; z.\) Проверим, подходит ли данный набор переменных под вторую строку. Импликация во второй скобке будет истинной, а вот эквивалентность в первой скобке будет ложной. Значит и \(F = 0.\) Значит, данное расположение переменных удовлетворяет условию.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((y \vee z) \rightarrow x) \vee (x \equiv y)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \text{1} & ??? & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
Дизъюнкция ложна в том случае, если импликация в первой скобке и эквивалентность во второй буду ложны. Импликация будет ложна в случае, если \(x = 0.\) Значит, \(x\) занимает второй столбец, так как только в этом столбце не представлены единицы. Чтобы строки не повторялись, в третьей ячейке первой строки должен находиться 0. Чтобы эквивалентность была ложной, переменные \(x, \; y\) должны принимать разные значения. Значит, переменная \(y\) занимает первый столбец. Под переменную \(z\) остаётся третий столбец.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \rightarrow (y \wedge z)) \vee (x \equiv z)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Рассмотрим первую строку. Предположим, что все переменные принимают значение 0. Тогда вторая скобка будет истинна, а значит, и вся дизъюнкция будет истинна. Следовательно, вторую ячейку в первой строке занимает 1. Исходя из эквивалентности мы можем сказать, что данный столбец занимает \(x\) или \(z.\) Если это \(z\), то импликация в первой скобке будет истинной, а значит, и \(F = 1.\) Значит второй столбец занимает \(x.\)
2. Импликация в первой скобке будет ложной в случае, если \(x = 1.\) Значит во второй ячейке второй строки находится 1. Тогда для ложности эквивалентности \(z = 0.\) Из этого получаем, что в третьей ячейке второй строки находится 0, а сам столбец занят переменной \(z.\) Значит в первом столбце находится \(y.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((x \rightarrow \overline y) \rightarrow \overline z) \equiv (x \wedge \overline y)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Рассмотрим случай, когда вторая скобка будет истинной. Для этого \(x = 1, \; y = 0.\) Тогда и первая скобка должна быть истинной (для истинности эквивалентности). Исходя из этого и из первой скобки мы поймём, что \(z = 0\).
2. В случае, когда первая скобка будет ложной \(z = 1.\) При этом либо \(x = 1, \; y = 0,\) либо \(x = 0, \; y = 0,\) либо \(x = 0, \; y = 1.\) Первый случай нам не подходит, так как конъюнкция в таком случае будет истинной. Заметим, что третий случай удовлетворяет нам, он совпадает со второй строкой, следовательно, \(x\) занимает третий столбец. А из второго случая мы поймём, что \(z\) занимает второй столбец, а \(y\) первый.
