Сложные логические выражения (страница 6)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((x \rightarrow \overline z) \equiv (\overline x \vee \overline y)) \wedge (y \rightarrow z) \)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
Конъюнкция будет ложна, если хотя бы одна из скобок будет ложной. Рассмотрим вторую скобку. Импликация будет ложной, если \(y = 1, \; z = 0.\) Если при этом \(x = 0,\) то эквивалентность будет истинной. В случае, если \(x = 1,\) то \(F = 0\) также. Заметим, что этим двум наборам переменных удовлетворяет первая и третья строчки, причём переменные расположены в порядке \(x, \; y, \; z.\) Проверим, подходит ли данный набор переменных под вторую строку. Импликация во второй скобке будет истинной, а вот эквивалентность в первой скобке будет ложной. Значит и \(F = 0.\) Значит, данное расположение переменных удовлетворяет условию.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((y \vee z) \rightarrow x) \vee (x \equiv y)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \text{1} & ??? & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
Дизъюнкция ложна в том случае, если импликация в первой скобке и эквивалентность во второй буду ложны. Импликация будет ложна в случае, если \(x = 0.\) Значит, \(x\) занимает второй столбец, так как только в этом столбце не представлены единицы. Чтобы строки не повторялись, в третьей ячейке первой строки должен находиться 0. Чтобы эквивалентность была ложной, переменные \(x, \; y\) должны принимать разные значения. Значит, переменная \(y\) занимает первый столбец. Под переменную \(z\) остаётся третий столбец.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \rightarrow (y \wedge z)) \vee (x \equiv z)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Рассмотрим первую строку. Предположим, что все переменные принимают значение 0. Тогда вторая скобка будет истинна, а значит, и вся дизъюнкция будет истинна. Следовательно, вторую ячейку в первой строке занимает 1. Исходя из эквивалентности мы можем сказать, что данный столбец занимает \(x\) или \(z.\) Если это \(z\), то импликация в первой скобке будет истинной, а значит, и \(F = 1.\) Значит второй столбец занимает \(x.\)
2. Импликация в первой скобке будет ложной в случае, если \(x = 1.\) Значит во второй ячейке второй строки находится 1. Тогда для ложности эквивалентности \(z = 0.\) Из этого получаем, что в третьей ячейке второй строки находится 0, а сам столбец занят переменной \(z.\) Значит в первом столбце находится \(y.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((x \rightarrow \overline y) \rightarrow \overline z) \equiv (x \wedge \overline y)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Рассмотрим случай, когда вторая скобка будет истинной. Для этого \(x = 1, \; y = 0.\) Тогда и первая скобка должна быть истинной (для истинности эквивалентности). Исходя из этого и из первой скобки мы поймём, что \(z = 0\).
2. В случае, когда первая скобка будет ложной \(z = 1.\) При этом либо \(x = 1, \; y = 0,\) либо \(x = 0, \; y = 0,\) либо \(x = 0, \; y = 1.\) Первый случай нам не подходит, так как конъюнкция в таком случае будет истинной. Заметим, что третий случай удовлетворяет нам, он совпадает со второй строкой, следовательно, \(x\) занимает третий столбец. А из второго случая мы поймём, что \(z\) занимает второй столбец, а \(y\) первый.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \rightarrow (y \wedge z)) \vee (z \equiv x)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Дизъюнкция ложна в том случае, когда обе скобки ложны. Рассмотрим первую скобку. Импликация будет ложна тогда, когда \(x = 1.\) Среди всех столбцов только во втором не присутствуют нули. Значит, второй столбец отводится под переменную \(x,\) а также в ячейках в этом столбце находятся единицы.
2. Обратив внимание на вторую скобку, мы поймём, что \(z, \; x\) принимают разные значения. Поэтому во второй строчке в третьей ячейке находится 0, а третий столбец занимает переменная \(z.\) Из этого следует, что в первом столбце находится \(y.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \rightarrow (\overline y \equiv \overline z)) \wedge (\overline x \equiv z)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Конъюнкция истинна в том случае, когда обе скобки будут истинны. Рассмотрим вторую скобку. Она принимает истинное значение тогда, когда \(x, \; z\) принимают разные значения. Посмотрев на первую и вторую строчки мы поймём, что эти переменные не могут занимать первый и третий, второй и третий столбцы (так как в таком случае у переменных совпадут значения). Следовательно, переменная \(y\) занимает третий столбец.
2. Обратимся ко второй строке. В ней \(y = 1.\) Если \(x\) занимает первый столбец, а \(z\) второй, то импликация будет ложной, так как \(x = 1,\) \((\overline y \equiv \overline z) = 0.\) Следовательно, \(x\) занимает второй столбец, а \(z\) занимает первый.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(((x \vee \overline y) \equiv z) \vee ((x \equiv z) \wedge \overline y)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Рассмотрим вторую строчку данного фрагмента таблицы истинности. Предположим, что второй столбец занимает переменная \(y.\) В таком случае \((x \vee \overline y) = 0, \; z = 0,\) а значит, \((x \vee \overline y) \equiv z = 1.\) Тогда \(F = 1.\) Предположим, что второй столбец занимает переменная \(z.\) Тогда первая скобка будет истинна. Значит второй столбец занят переменной \(x.\)
2. Рассмотрим теперь третью строчку фрагмента. В ней \(x = 1.\) Тогда, если мы посмотрим на первую скобку, то поймём, что в ней \((x \vee \overline y) = 1.\) Чтобы эквивалентность была ложной, переменная \(z\) должна быть равна 0. А это значит, что \(z\) занимает третий столбец. Следовательно, под переменную \(y\) отводится первый столбец.
