Решение задач со степенями
Какое из данных чисел является значением выражения \(\dfrac{\left(5^3\right)^{-4}}{5^{-11}}\)?
1) \(5^{10} \qquad \qquad\) 2) \(\dfrac15\qquad \qquad\) 3) \(5\qquad \qquad\) 4) \(5^{-23}\)
Так как \(\left(a^x\right)^y=a^{xy}\), то числитель дроби можно преобразовать: \(5^{3\cdot (-4)}=5^{-12}\).
Так как \(a^x:a^y=a^{x-y}\), то дробь равна \(5^{-12}:5^{-11}=5^{-12-(-11)}=5^{-1}=\frac15\).
Следовательно, ответ 2.
Какое из данных чисел является значением выражения \(\dfrac{(2^{-3})^{-5}}{2^{-19}\cdot 2}\)?
1) \(\dfrac18 \qquad \qquad\) 2) \(8\qquad \qquad\) 3) \(2^{33}\qquad \qquad\) 4) \(1024\)
Так как \(\left(a^x\right)^y=a^{xy}\), то числитель дроби можно преобразовать: \(2^{-3\cdot (-5)}=2^{15}\).
Так как \(2=2^1\), то знаменатель равен \(2^{-19+1}=2^{-18}\).
Так как \(a^x:a^y=a^{x-y}\), то дробь равна \(2^{15}:2^{-18}=2^{15-(-18)}=2^{33}\).
Следовательно, ответ 3.
Какое из данных чисел является значением выражения \(3^7\cdot (3^{-4})^2\)?
1) \(3 \qquad \qquad\) 2) \(\dfrac13\qquad \qquad\) 3) \(-3\qquad \qquad\) 4) \(243\)
Так как \(\left(a^x\right)^y=a^{xy}\), то второй множитель можно преобразовать: \(3^{-4\cdot 2}=3^{-8}\).
Так как \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\), то выражение равно \(3^7\cdot 3^{-8}=3^{7+(-8)}=3^{-1}=\dfrac13\).
Следовательно, ответ 2.
Какое из данных чисел является значением выражения \(\dfrac{9^9\cdot 3}{27^3}\)?
1) \(27 \qquad \qquad\) 2) \(3^{28}\qquad \qquad\) 3) \(3^{13}\qquad \qquad\) 4) \(3^{10}\)
Заметим, что \(9=3^2\), \(3=3^1\), \(27=3^3\).
Так как \(\left(a^x\right)^y=a^{xy}\) и \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\), то числитель дроби можно преобразовать: \((3^2)^9\cdot 3^1=3^{18}\cdot 3^1=3^{18+1}=3^{19}\).
Знаменатель дроби равен \((3^3)^3=3^{3\cdot 3}=3^9\).
Так как \(a^x:a^y=a^{x-y}\), то дробь равна \(3^{19}:3^9=3^{19-9}=3^{10}\).
Следовательно, ответ 4.
Какое из данных чисел является значением выражения \(3^{3^{^3}}\)?
1) \(3^{27} \qquad \qquad\) 2) \(27^3\qquad \qquad\) 3) \(3^9\qquad \qquad\) 4) \(27\)
Так как \(\left(a^x\right)^y=a^{xy}\), то выражение равно \[3^{3^{^3}}=3^{27}\]
(преобразования делаем “сверху вниз”)
Следовательно, ответ 1.
Какое из данных ниже выражений при любых значениях \(n\) равно дроби \(\dfrac{11^n}{121}\)?
1) \(11^{n-2} \qquad \qquad\) 2) \(11^{\frac n2}\qquad \qquad\) 3) \(\left(\dfrac1{11}\right)^n\qquad \qquad\) 4) \(11^n-11^2\)
Заметим, что \(121=11^2\). Воспользуемся формулой \(a^x:a^y=a^{x-y}\). Тогда \[\dfrac{11^n}{121}=\dfrac{11^n}{11^2}=11^{n-2}\]
Следовательно, ответ 1.
Какое из следующих выражений равно \(5^{k-4}\)?
1) \(\dfrac{5^k}{5^{-4}} \qquad \qquad\) 2) \((5^k)^{-4}\qquad \qquad\) 3) \(5^k-5^4\qquad \qquad\) 4) \(\dfrac{5^k}{5^4}\)
Воспользуемся формулой \(a^x:a^y=a^{x-y}\) справа налево. Тогда \[5^{k-4}=\dfrac{5^k}{5^4}\]
Следовательно, ответ 4.
