Решение задач со степенями (страница 2)

Приведем все числа к виду \(a\cdot 10^{-5}\). Тогда:   1) \(1,8\cdot 10^{-3}=1,8\cdot 10^2\cdot 10^{-5}=180\cdot 10^{-5}\);   2) \(4,7\cdot 10^{-4}=4,7\cdot 10^1\cdot 10^{-5}=47\cdot 10^{-5}\);   3) \(2,9\cdot 10^{-5}\);   4) \(9,5\cdot 10^{-3}=9,5\cdot 10^2\cdot 10^{-5}=950\cdot 10^{-5}\).

Теперь можно воспользоваться правилом, верным для положительных чисел \(a, b, c\): если \(a<b\), то и \(ac<bc\). Таким образом, у преобразованных четырех чисел нужно сравнить лишь множитель, стоящий перед \(10^{-5}\). Отсюда следует, что наибольшее число – число в пункте 4.

Способ 1.

Приведем все числа к виду \(a\cdot 10^{-6}\). Тогда:   1) \(6,4\cdot 10^{-4}=6,4\cdot 10^2\cdot 10^{-6}=640\cdot 10^{-6}\);   2) \(5,7\cdot 10^{-4}=5,7\cdot 10^2\cdot 10^{-6}=570\cdot 10^{-6}\);   3) \(4,9\cdot 10^{-6}\);   4) \(0,7\cdot 10^{-6}\).

Теперь можно воспользоваться правилом, верным для положительных чисел \(a, b, c\): если \(a<b\), то и \(ac<bc\). Таким образом, у преобразованных четырех чисел нужно сравнить лишь множитель, стоящий перед \(10^{-6}\). Отсюда следует, что наименьшее число – число в пункте 4.

Способ 2.

Заметим сразу, что среди чисел из пунктов 1) и 2) второе число будет меньше. Аналогично среди третьего и четвертого чисел наименьшим будет четвертое. Таким образом, можно лишь сравнить второе число с четвертым. Чтобы сравнить два положительных числа, можно разделить одно число на другое и сравнить полученный результат с 1: \[\dfrac{5,7\cdot 10^{-4}}{0,7\cdot 10^{-6}}=\dfrac{5,7\cdot 10^{-4}\cdot 10^6} {0,7\cdot 10^{-6}\cdot 10^6}=\dfrac{570}{0,7}>1\] Так как результат больше 1, то число, находящееся в числителе, больше числа, находящегося в знаменателе. Следовательно, наименьшим числом среди данных четырех будет число из пункта 4.

По правилу \((a^x)^y=a^{xy}\) числитель дроби преобразуется к виду \(c^{-6\cdot (-2)}=c^{12}\).
Тогда по правилу \(a^x:a^y=a^{x-y}\) дробь преобразуется в \[c^{12-(-3)}=c^{15}\] Ответ 2.

Так как \(a^t\cdot a^z=a^{t+z}\), то знаменатель дроби равен \(x^{6-2}=x^4\). Тогда по правилу \(a^t:a^z=a^{t-z}\) дробь примет вид \[x^{-4-4}=x^{-8}\] Следовательно, ответ 2.

Так как \(\frac12=2^{-1}\), то \[\left(\dfrac12\right)^{-5}=(2^{-1})^{-5}=2^{-1\cdot (-5)}=2^5\] Так как \(0,5=\frac12=2^{-1}\), то \[0,5^2=(2^{-1})^2=2^{-2}\] Так как \(0,2=\frac15=5^{-1}\), то \[0,2^5=(5^{-1})^5=5^{-5}\]

Таким образом, имеем следующие числа:   1) \(2^{-5}\qquad \) 2) \(2^5\qquad \) 3) \(2^{-2}\qquad \) 4) \(5^{-5}\)  

Первые три числа имеют одинаковое основание, большее 1, следовательно, среди них больше будет то, у которого показатель степени больше. Значит, самое большое среди них – это \(2^5=2\cdot2\cdot 2\cdot 2\cdot 2>1\).
Осталось сравнить это число с четвертым числом. Для этого заметим, что \(5^{-5}=\left(\frac15\right)^5=\frac15\cdot \frac15\cdot \frac15\cdot \frac15\cdot \frac15<1\).
Следовательно, \(2^5\) – наибольшее число. Значит, ответ 2.

При возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим данное свойство для числителя.

\((4^3)^{-4} = 4^{-12}\),

Тогда \(\frac{(4^3)^{-4}}{4^{-11}}=\frac{4^{-12}}{4^{-11}}=4^{-12-(-11)}=4^{-1}=\frac{1}{4}=0,25\).

При возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим данное свойство для числителя.

\((3^5)^{-6} = 3^{-30}\),

Тогда \(\frac{(3^5)^{-6}}{3^{-31}}=\frac{3^{-30}}{3^{-31}}=3^{-30-(-31)}=3^{1}=3\).