Решение задач со степенями (страница 3)
Какое из следующих чисел является наименьшим?
1) \(6,4\cdot 10^{-4}\qquad \) 3) \(4,9\cdot 10^{-6}\)
2) \(5,7\cdot 10^{-4}\qquad \) 4) \(0,7\cdot 10^{-6}\)
Способ 1.
Приведем все числа к виду \(a\cdot 10^{-6}\). Тогда: 1) \(6,4\cdot 10^{-4}=6,4\cdot 10^2\cdot 10^{-6}=640\cdot 10^{-6}\); 2) \(5,7\cdot 10^{-4}=5,7\cdot 10^2\cdot 10^{-6}=570\cdot 10^{-6}\); 3) \(4,9\cdot 10^{-6}\); 4) \(0,7\cdot 10^{-6}\).
Теперь можно воспользоваться правилом, верным для положительных чисел \(a, b, c\): если \(a<b\), то и \(ac<bc\). Таким образом, у преобразованных четырех чисел нужно сравнить лишь множитель, стоящий перед \(10^{-6}\). Отсюда следует, что наименьшее число – число в пункте 4.
Способ 2.
Заметим сразу, что среди чисел из пунктов 1) и 2) второе число будет меньше. Аналогично среди третьего и четвертого чисел наименьшим будет четвертое. Таким образом, можно лишь сравнить второе число с четвертым. Чтобы сравнить два положительных числа, можно разделить одно число на другое и сравнить полученный результат с 1: \[\dfrac{5,7\cdot 10^{-4}}{0,7\cdot 10^{-6}}=\dfrac{5,7\cdot 10^{-4}\cdot 10^6} {0,7\cdot 10^{-6}\cdot 10^6}=\dfrac{570}{0,7}>1\] Так как результат больше 1, то число, находящееся в числителе, больше числа, находящегося в знаменателе. Следовательно, наименьшим числом среди данных четырех будет число из пункта 4.
Какое из следующих чисел является наибольшим?
1) \(1,8\cdot 10^{-3}\qquad \) 3) \(2,9\cdot 10^{-5}\)
2) \(4,7\cdot 10^{-4}\qquad \) 4) \(9,5\cdot 10^{-3}\)
Приведем все числа к виду \(a\cdot 10^{-5}\). Тогда: 1) \(1,8\cdot 10^{-3}=1,8\cdot 10^2\cdot 10^{-5}=180\cdot 10^{-5}\); 2) \(4,7\cdot 10^{-4}=4,7\cdot 10^1\cdot 10^{-5}=47\cdot 10^{-5}\); 3) \(2,9\cdot 10^{-5}\); 4) \(9,5\cdot 10^{-3}=9,5\cdot 10^2\cdot 10^{-5}=950\cdot 10^{-5}\).
Теперь можно воспользоваться правилом, верным для положительных чисел \(a, b, c\): если \(a<b\), то и \(ac<bc\). Таким образом, у преобразованных четырех чисел нужно сравнить лишь множитель, стоящий перед \(10^{-5}\). Отсюда следует, что наибольшее число – число в пункте 4.
Какое из следующих выражений равно \(5^{k-4}\)?
1) \(\dfrac{5^k}{5^{-4}} \qquad \qquad\) 2) \((5^k)^{-4}\qquad \qquad\) 3) \(5^k-5^4\qquad \qquad\) 4) \(\dfrac{5^k}{5^4}\)
Воспользуемся формулой \(a^x:a^y=a^{x-y}\) справа налево. Тогда \[5^{k-4}=\dfrac{5^k}{5^4}\]
Следовательно, ответ 4.
Какое из данных ниже выражений при любых значениях \(n\) равно дроби \(\dfrac{11^n}{121}\)?
1) \(11^{n-2} \qquad \qquad\) 2) \(11^{\frac n2}\qquad \qquad\) 3) \(\left(\dfrac1{11}\right)^n\qquad \qquad\) 4) \(11^n-11^2\)
Заметим, что \(121=11^2\). Воспользуемся формулой \(a^x:a^y=a^{x-y}\). Тогда \[\dfrac{11^n}{121}=\dfrac{11^n}{11^2}=11^{n-2}\]
Следовательно, ответ 1.
Какое из данных чисел является значением выражения \(3^{3^{^3}}\)?
1) \(3^{27} \qquad \qquad\) 2) \(27^3\qquad \qquad\) 3) \(3^9\qquad \qquad\) 4) \(27\)
Так как \(\left(a^x\right)^y=a^{xy}\), то выражение равно \[3^{3^{^3}}=3^{27}\]
(преобразования делаем “сверху вниз”)
Следовательно, ответ 1.
Какое из данных чисел является значением выражения \(\dfrac{9^9\cdot 3}{27^3}\)?
1) \(27 \qquad \qquad\) 2) \(3^{28}\qquad \qquad\) 3) \(3^{13}\qquad \qquad\) 4) \(3^{10}\)
Заметим, что \(9=3^2\), \(3=3^1\), \(27=3^3\).
Так как \(\left(a^x\right)^y=a^{xy}\) и \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\), то числитель дроби можно преобразовать: \((3^2)^9\cdot 3^1=3^{18}\cdot 3^1=3^{18+1}=3^{19}\).
Знаменатель дроби равен \((3^3)^3=3^{3\cdot 3}=3^9\).
Так как \(a^x:a^y=a^{x-y}\), то дробь равна \(3^{19}:3^9=3^{19-9}=3^{10}\).
Следовательно, ответ 4.
Какое из данных чисел является значением выражения \(3^7\cdot (3^{-4})^2\)?
1) \(3 \qquad \qquad\) 2) \(\dfrac13\qquad \qquad\) 3) \(-3\qquad \qquad\) 4) \(243\)
Так как \(\left(a^x\right)^y=a^{xy}\), то второй множитель можно преобразовать: \(3^{-4\cdot 2}=3^{-8}\).
Так как \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\), то выражение равно \(3^7\cdot 3^{-8}=3^{7+(-8)}=3^{-1}=\dfrac13\).
Следовательно, ответ 2.
