Геометрическая прогрессия
Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\), знаменатель которой равен \(2\), а \(b_1=140\). Найдите \(b_4\).
Используя формулу \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\) для геометрической прогрессии, где \(q\) – знаменатель, получаем \(b_4=b_1\cdot q^3=140\cdot 8=1120\).
(Для решения этой задачи достаточно знать, что такое геометрическая прогрессия – последовательность, где каждый следующий член в \(q\) (знаменатель) раз больше, чем предыдущий. Тогда можно найти \(b_2=b_1\cdot q=280\), \(b_3=b_2\cdot q=560\), \(b_4=b_3\cdot q=1120\). Но это долго.)
Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\), знаменатель которой равен \(-3\), а \(b_1=-6\). Найдите \(b_{7}\).
Используя формулу \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\) для геометрической прогрессии, где \(q\) – знаменатель, получаем \(b_{7}=b_1\cdot q^6=-6\cdot (-3)^6=-6\cdot 729=-4374\).
(Для решения этой задачи достаточно знать, что такое геометрическая прогрессия – последовательность, где каждый следующий член в \(q\) (знаменатель) раз больше, чем предыдущий. Тогда можно найти \(b_2=b_1\cdot q=18\), \(b_3=b_2\cdot q=-54\) и т.д. Но это слишком долго.)
Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=10\), \(b_{n+1}=-\frac15b_n\). Найдите \(b_3\).
Из данной в условии формулы следует, что знаменатель геометрической прогрессии \(q=-\frac15\). Используя формулу \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\) для геометрической прогрессии, где \(q\) – знаменатель, получаем \(b_3=b_1\cdot q^2=10\cdot \left(-\frac15\right)^2=0,4\).
(Для решения этой задачи можно было последовательно, используя формулу из условия, вычислять члены прогрессии: \(b_2=-\frac15b_1=-2\), \(b_3=-\frac15b_2=0,4\).)
Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
\(\dots; \ 2; \ x; \ 18; \ -54; \ \dots\).
Найдите член прогрессии, обозначенный за \(x\).
Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, где каждый следующий член в \(q\) раз больше, чем предыдущий. Найдем \(q\). Из данной последовательности видно, что \(-54\) в \(-3\) раза больше, чем \(18\), то есть \(q=-3\). Следовательно, \(x=2\cdot q=-6\).
Геометрическая прогрессия задана условием \(b_n=-6,4\cdot \left(-\frac52\right)^n\). Найдите \(b_7\).
Используем формулу: \[b_7=-6,4\cdot \left(-\frac52\right)^7=\dfrac{64}{10}\cdot \dfrac{5^7}{2^7}= \dfrac{5^6}4=\dfrac{15625}4=3906,25\]
Геометрическая прогрессия задана условием \(b_n=-6,4\cdot \left(-\frac52\right)^n\). Найдите знаменатель данной прогрессии.
В общем виде формула \(n\)-ого члена геометрической прогрессии выглядит так: \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\). Приведем данную в условии формулу к этому виду: \[b_n=-6,4\cdot \left(-\frac52\right)\cdot \left(-\frac52\right)^{n-1}= 16\cdot\left(-\dfrac52\right)^{n-1}\] Следовательно, \(b_1=16\), \(q=-\frac52\).
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: \(18,5; \ 74; \ 296; \ \dots\). Найдите ее пятый член.
Знаменатель геометрической прогрессии равен \(q=296:74=4\). Следовательно, четвертый член равен \(296\cdot 4\), а пятый \((296\cdot 4)\cdot 4=4736\).
