Доказательство теорем по окружностям
Известно, что около четырехугольника \(ABCD\) можно описать окружность и что продолжения сторон \(AB\) и \(CD\) четырехугольника пересекаются в точке \(M\). Докажите, что треугольники \(MBC\) и \(MDA\) подобны.
Рассмотрим чертеж:
Так как нам не даны никакие длины отрезков, то будем доказывать подобие треугольников по двум углам.
\(\angle M\) – общий у треугольников \(MBC\) и \(MDA\). Докажем, что у них есть еще одна пара равных углов.
Так как четырехугольник \(ABCD\) вписанный, то сумма его противоположных углов равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle
BCD+\angle BAD=180^\circ\).
Также \(\angle BCD+\angle BCM=180^\circ\) как смежные углы.
Отсюда следует, что \(\angle BAD=\angle BCM\).
Таким образом, мы доказали, что \(\angle MAD\) треугольника \(MDA\) равен углу \(BCM\) треугольника \(MBC\). Следовательно, по двум углам эти треугольники подобны, чтд.
Высоты \(AA_1\) и \(BB_1\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(E\). Докажите, что углы \(AA_1B_1\) и \(ABB_1\) равны.
Рассмотрим четырехугольник \(ABA_1B_1\). Углы \(AA_1B\) и \(AB_1B\) равны \(90^\circ\) и опираются на сторону \(AB\). Следовательно, четырехугольник \(ABA_1B_1\) вписанный:
Следовательно, \(\angle AA_1B_1\) и \(\angle ABB_1\) – вписанные углы, причем опирающиеся на одну и ту же дугу, значит, они равны. Чтд.
В треугольнике \(ABC\) с тупым углом \(ACB\) проведены высоты \(AA_1\) и \(BB_1\). Докажите, что треугольники \(A_1CB_1\) и \(ACB\) подобны.
Рассмотрим четырехугольник \(AA_1B_1B\). Углы \(AA_1B\) и \(AB_1B\) равны \(90^\circ\) и опираются на сторону \(AB\). Следовательно, четырехугольник \(AA_1B_1B\) вписанный:
Следовательно, \(\angle AB_1A_1\) и \(\angle ABA_1\) – вписанные углы, причем опирающиеся на одну и ту же дугу, значит, они равны. Также \(\angle ACB=\angle A_1CB_1\) как вертикальные углы. Следовательно, по двум углам треугольники \(A_1CB_1\) и \(ACB\) подобны.
Окружности с центрами в точках \(I\) и \(J\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\), причем точки \(I\) и \(J\) лежат по одну сторону от прямой \(AB\). Докажите, что \(AB\perp IJ\).
Рассмотрим \(\triangle IJA\) и \(IJB\). Они равны по трем сторонам (\(IA=IB\) как радиусы большей окружности, \(JA=JB\) как радиусы меньшей окружности, \(IJ\) – общая). Следовательно, \(\angle BIJ=\angle AIJ\). Рассмотрим \(\triangle AIB\). Он равнобедренный, так как \(AI=IB\). В нем \(IH\) является биссектрисой, проведенной к основанию, следовательно, это медиана и высота, то есть \(IH\perp AB\). Чтд.
Окружности с центрами в точках \(I\) и \(J\) не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении \(m:n\). Докажите, что диаметры этих окружностей относятся также как \(m:n\).
Пусть \(AB\) – общая касательная, \(A, B\) – точки касания, \(O\) – точка пересечения \(AB\) и \(IJ\).
Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то \(IA\perp AB, JB\perp AB\). \(\angle IOA=\angle JOB\) как вертикальные. Следовательно, по двум углам \(\triangle IOA\sim
\triangle JOB\). Следовательно, \[\dfrac{IA}{JB}=\dfrac{OJ}{OI}=\dfrac mn\] Следовательно, диаметры относятся как \(2IA:2JB=m:n\). Чтд.
