Доказательство теорем по четырехугольникам

Рассмотрим чертеж:



Существует 3 признака подобия треугольников: 1) по двум углам; 2) по двум сторонам и углу между ними; 3) по трем сторонам.
Так как в данной задаче нам даны длины сторон, то будем пользоваться либо 2, либо 3 признаком.
Используем то, что \(ABCD\) – трапеция. У трапеции основания параллельны, следовательно, \(\angle ADB=\angle CBD\) при \(AD\parallel BC\) и секущей \(BD\). Значит, проверим признак 2: треугольники имеют по равному углу, причем стороны, заключающие эти углы, относятся с одинаковым коэффициентом, то есть сторона \(AD\) (у \(\triangle ADB\)) относится к стороне \(BD\) (у \(\triangle CBD\)) как \(20:10=2:1\) и это равно отношению стороны \(BD\) (у \(\triangle ADB\)) к стороне \(BC\) (у \(\triangle CBD\)). Следовательно, по 2-ому признаку треугольники подобны, чтд.

Если в выпуклом четырехугольнике провести диагонали и углы, образованные диагональю и стороной, опирающиеся на одну и ту же сторону, равны, то около данного четырехугольника можно описать окружность. Следовательно, по данному признаку около \(ABCD\) можно описать окружность:



Теперь заметим, что \(\angle ABD\) и \(\angle ACD\) – вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Чтд.

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) и середины оснований \(M\), \(N\):



Докажем, что \(S_{ABMN}=S_{DCMN}\).
\(ABMN\) и \(DCMN\) – трапеции, причем, так как они являются частями трапеции \(ABCD\), то их высоты равны. Так как площадь трапеции вычисляется по формуле \((a+b)\cdot h:2\), где \(a, b\) – основания, \(h\) – высота, то докажем, что суммы оснований у трапеций \(ABMN\) и \(DCMN\) также одинаковы.
Так как \(M\) и \(N\) – середины, то действительно, \(AN+BM=DN+CM\). Следовательно, \[S_{ABMN}=\dfrac{AN+BM}2\cdot h=\dfrac{DN+CM}2\cdot h=S_{DCMN}\] Чтд.

Рассмотрим чертеж:



Через точку \(E\) проведем прямую, перпендикулярную \(AD\) (а значит, перпендикулярную и \(BC\), так как \(AD\parallel BC\) как основания трапеции). Следовательно, \(HE\) – высота \(\triangle AED\), \(EK\) – высота \(\triangle BEC\).
Так как \(MN\) – средняя линия трапеции, то она параллельна основаниям трапеции. Тогда по теореме Фалеса (так как \(AD\parallel MN\parallel BC\) и \(AM=MB\)) \(HE=EK\).
Тогда \(S_{BEC}+S_{AED}=0,5 HE\cdot (AD+BC)\).
Так как по определению \(KH\) – высота трапеции \(ABCD\) и \(HE=EK\), то \(HE=0,5KH\) и \[S_{BEC}+S_{AED}=0,5 \cdot 0,5 KH\cdot (AD+BC)=0,5S_{ABCD}\] Чтд.

Площадь треугольника равна полупроизведению высоты на сторону, к которой проведена высота. Проведем через точку \(E\) прямую \(EH\) перпендикулярно \(AD\). Так как в параллелограмме \(AD\parallel BC\), то \(EH\perp BC\). Пусть \(EH\) пересекает \(BC\) в точке \(K\):



Тогда по определению \(KH\) – высота параллелограмма, проведенная к \(AD\) (или к \(BC\)). Заметим, что противоположные стороны параллелограмма равны, то есть \(AD=BC\). Следовательно, можно записать: \[S_{AED}+S_{BEC}=0,5EH\cdot AD+0,5EK\cdot BC=0,5 AD\cdot (EH+EK)=0,5\cdot AD\cdot KH= 0,5S_{ABCD}\]Чтд.

Площадь треугольника равна полупроизведению высоты на сторону, к которой проведена высота. Проведем через точку \(E\) прямую \(EH\) перпендикулярно \(AD\). Так как в трапеции \(AD\parallel BC\), то \(EH\perp BC\). Пусть \(EH\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(K\):



Тогда по определению \(KH\) – высота трапеции. Заметим, что если \(S_{AED}+S_{BEC}=0,5S_{ABCD}\), то это значит, что и \(S_{CED}=0,5S_{ABCD}\).
\(\triangle AEH=\triangle BEK\) по стороне и двум углам: \(AE=EB\), \(\angle AEH=\angle BEK\) как вертикальные, \(\angle HAE=\angle KBE\) как накрест лежащие при \(AD\parallel BC\) и секущей \(AB\). Следовательно, \(EH=EK\). Тогда \(KH=2EH\). Значит, \[S_{AED}+S_{BEC}=0,5EH\cdot AD+0,5EK\cdot BC=0,5\cdot 0,5\cdot KH\cdot (AD+BC)= 0,5S_{ABCD}\] Чтд.

Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, следовательно, \(AB=BE\) (для биссектрисы \(AE\)) и \(CD=CE\) (для биссектрисы \(DE\)).



(Действительно, докажем, что \(AB=BE\). Так как \(AE\) – биссектриса, то \(\angle BAE=\angle DAE\). С другой стороны, \(\angle DAE=\angle BEA\) как накрест лежащие при \(AD\parallel BC\) и секущей \(AE\). Следовательно, \(\angle BAE=\angle BEA\), откуда следует, что \(\triangle ABE\) равнобедренный, то есть \(AB=BE\).)

Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то есть \(AB=CD\), то \(BE=AB=CD=CE\). Чтд.