Доказательство теорем по четырехугольникам (страница 2)
Через точку \(O\) пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\) проведена прямая, пересекающая стороны \(AB\) и \(CD\) в точках \(P\) и \(T\) соответственно. Докажите, что \(BP=DT\).
Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то \(BO=OD\). Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то \(\angle OBP=\angle ODT\) как накрест лежащие углы при \(AB\parallel CD\) и секущей \(BD\). Также \(\angle DOT=\angle BOP\) как вертикальные.
Следовательно, по стороне и двум прилежащим углам \(\triangle
DOT=\triangle BOP\). Отсюда следует, что \(BP=DT\). Чтд.
Биссектрисы углов \(B\) и \(C\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\), лежащей на стороне \(AD\). Докажите, что точка \(O\) равноудалена от прямых \(AB, BC, CD\).
Каждая точка биссектрисы углы равноудалена от его сторон. Следовательно, так как \(BO\) – биссектриса \(\angle ABC\), то точка \(O\) равноудалена от сторон \(AB\) и \(BC\). Так как \(CO\) – биссектриса \(\angle BCD\), то она равноудалена от \(BC\) и \(CD\).
Таким образом, мы получили, что расстояния от \(O\) до \(AB\) и \(BC\) равны; расстояния от \(O\) до \(BC\) и \(CD\) равны. Следовательно, равны расстояния от \(O\) до \(AB, BC, CD\). Чтд.
