Теоремы, связанными с углами (страница 3)
На рисунке диаметр \(AB\) пересекает хорду \(PT\) и делит ее пополам, а также пересекает хорду \(KT\). Дуга \(PB\), меньшая полуокружности, равна \(75^\circ\); дуга \(AK\), меньшая полуокружности, равна \(15^\circ\).
Найдите угол между прямыми \(AB\) и \(KT\). Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Т.к. диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен ей, то \(AB\perp PT\). Следовательно, \(\triangle PNB=\triangle TNB\) как прямоугольные по двум катетам (\(PN=TN\), \(NB\) – общий). Следовательно, \(PB=TB\).
Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то \(\buildrel\smile\over{TB}=\buildrel\smile\over{PB}=75^\circ\).
Тогда угол между хордами \(AB\) и \(KT\) равен полусумме дуг, заключенных между ними, то есть \(0,5\left(15^\circ+75^\circ\right)=45^\circ\). Т.к. нам необходимо найти угол между прямыми (а это обязательно острый угол), то в данном случае он равен углу между данными хордами.
Из точки \(A\) на окружности проведены две прямые, пересекающие повторно окружность в точках \(B\) и \(C\), причем оказалось, что \(AC\) – диаметр, равный \(10\). Найдите длину отрезка \(AB\), если угол между этими прямыми равен \(60^\circ\).
Рассмотрим картинку:
Рассмотрим \(\triangle ABC\): он прямоугольный (\(\angle B=90^\circ\), т.к. опирается на диаметр), следовательно, \(\angle C=90^\circ-\angle A=30^\circ\). Катет \(AB\), лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы \(AC\), то есть равен \(5\).
Из точки \(A\) вне окружности проведены две секущие к окружности, угол между которыми равен \(11^\circ\). Первая секущая пересекла окружность в точках \(K_1\) и \(L_1\), вторая — в точках \(K_2\) и \(L_2\), причем \(K_1L_1=K_2L_2\) и дуга \(\buildrel\smile\over{K_1L_1}\), меньшая полуокружности, равна \(95^\circ\).
Найдите меньшую из дуг, заключенных между данными секущими.
Рассмотрим картинку:
Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то
\[\angle A=0,5\left(\alpha-\beta\right)=11^\circ \qquad (1)\]
Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то (меньшая полуокружности) дуга \(\buildrel\smile\over{K_2L_2}=95^\circ\). Вся окружность равна \(360^\circ\), следовательно,
\[\alpha+\beta+2\cdot 95^\circ=360^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha+\beta=170^\circ \qquad (2)\]
Решая систему из уравнений \((1)\) и \((2)\), получим, что \(\beta=74^\circ\).
Угол между двумя секущими, проведенными к окружности из точки \(O\) вне окружности, равен \(20^\circ\). Найдите большую дугу, заключенную между секущими, если сумма градусных мер обеих дуг, заключенных между секущими, равна \(100^\circ\). Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то
\[\angle O=0,5\left(\alpha-\beta\right)=20^\circ\]
С другой стороны, по условию задачи \(\alpha+\beta=100^\circ\).
Решая систему из этих двух уравнений, находим, что \(\alpha=70^\circ\).
Из точки \(O\) вне окружности проведены две прямые, пересекающие окружность. Большая дуга, образованная этими прямыми, равна \(44^\circ\), а угол между прямыми равен \(15^\circ\). Найдите другую дугу, образованную этими прямыми. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Т.к. угол, образованный двумя такими прямыми-секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то
\[\angle O=15^\circ=\dfrac12\left(44^\circ-x\right)\quad \Rightarrow \quad x=14^\circ\]
Найдите угол между двумя секущими, проведенными к окружности из точки \(O\) вне окружности, если дуги, заключенные между этими секущими, равны \(103^\circ\) и \(47^\circ\). Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то
\[\angle O=\dfrac12\left(103^\circ-47^\circ\right)=28^\circ.\]
\(AB\) – касательная к окружности, причем \(A\) – точка касания. На окружности на одинаковом расстоянии от точки \(A\) отмечены точки \(C\) и \(D\), причем дуга \(\buildrel\smile\over{CD}\), не проходящая через точку \(A\), равна \(110^\circ\). Найдите угол \(BAD\), если \(\angle BAD<\angle BAC\). Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Т.к. дуги, стягиваемые равными хордами, равны, то \(\buildrel\smile\over{AC}=\buildrel\smile\over{AD}=x\). Т.к. вся окружность равна \(360^\circ\), то \(x+x+110^\circ=360^\circ\), откуда \(x=125^\circ\).
Угол \(BAD\), образованный касательной \(AB\) и хордой \(AD\), равен половине дуги, заключенной между ними, то есть \(\angle BAD=0,5 \buildrel\smile\over{AD}=62,5^\circ\).
