Площадь параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата
Стороны параллелограмма равны \(9\) и \(15\). Высота, опущенная на первую сторону, равна \(10\). Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь \(S=9\cdot 10\), с другой стороны, \(S=15\cdot h\), где \(h\) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, \[9\cdot 10=15\cdot h\quad\Leftrightarrow\quad h=6\]
Площадь параллелограмма равна \(40\), две его стороны равны \(5\) и \(10\). Найдите большую высоту параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена: \(S=ah\). Тогда \(h=S:a\). Следовательно, чем больше \(a\), тем меньше \(h\) (при фиксированном \(S\)). Таким образом, большая высота равна \[h=\dfrac{40}5=8\]
Диагонали ромба относятся как \(4:3\). Периметр ромба равен \(200\). Найдите высоту ромба.
Отрезок \(HK\) – высота ромба. Так как \(AB\parallel DC\) и \(HK\perp AB\), то \(HK\perp DC\).
Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна \(AB=200:4=50\). Следовательно, площадь ромба равна \(S=50HK\) (произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне).
Так как \(AC:BD=4:3\), то можно принять \(AC=4a, BD=3a\). Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то \(S=0,5\cdot
4a\cdot 3a=6a^2\), следовательно, \[50HK=6a^2\quad\Rightarrow\quad HK=\dfrac3{25}a^2\] Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то по теореме Пифагора из \(\triangle AOB\): \[\left(\dfrac32a\right)^2+(2a)^2=AB^2\quad\Rightarrow\quad a^2=400\] Следовательно, \[HK=\dfrac3{25}\cdot 400=48\]
Найдите площадь ромба, если его высота равна \(2\), а острый угол равен \(30^\circ\).
Проведем \(DH\perp AB\).
Так как \(\angle A=30^\circ\), а катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(AD=2DH=2\cdot 2=4\). Площадь ромба равна произведению высоты на сторону, к которой проведена высота, следовательно, \[S=DH\cdot AB=4\cdot 2=8\] (\(AB=AD\), так как в ромбе по определению все стороны равны)
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны \(4\) и \(12\).
Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[S=0,5\cdot 4\cdot 12=24\]
Площадь ромба равна \(18\). Одна из его диагоналей равна \(12\). Найдите другую диагональ.
Пусть \(d\) – диагональ ромба, которую нужно найти. Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[18=S=0,5\cdot d\cdot 12\quad\Rightarrow\quad d=3\]
Площадь ромба равна \(6\). Одна из его диагоналей в три раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.
Пусть меньшая диагональ равна \(d\), тогда большая равна \(3d\). Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[6=S=0,5\cdot d\cdot 3d\quad\Rightarrow\quad d=2\]
