Площадь параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата (страница 2)

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда \(35 = BE \cdot AD = 5\cdot(5 + AE)\), откуда находим \(AE = 2\).

Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны.

Обозначим длину прямоугольника за \(a\), а его ширину за \(b\), тогда \(a\cdot b = 40\), \(a + b + a + b = 2(a + b) = 26\), откуда \(b = 13 - a\) и, значит, \(a \cdot (13 - a) = 40\), что равносильно \(a^2 - 13a + 40 = 0\). Дискриминант \(D = 13^2 - 4\cdot 40 = 9 = 3^2\), корни \(a_1 = 0,5(13 + 3) = 8, \ a_2 = 0,5(13 - 3) = 5\). При \(a = 5\) получаем \(b = 8\), но \(a \geq b\), тогда \(a = 8, \ b = 5\) и разность большей и меньшей сторон равна \(8 - 5 = 3\).

Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны, тогда \(2\cdot AB + 2\cdot BC = 42\), что при \(AB = \dfrac{2}{5}BC\) равносильно \(\dfrac{4}{5}BC + 2\cdot BC = 42\), откуда находим \(BC = 15\), значит, \(AB = 6\).

Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны по двум катетам, тогда их площади равны, следовательно, площадь треугольника \(ABC\) равна половине площади \(ABCD\) и равна \(0,5\cdot 6\cdot 15 = 45\).

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, тогда площадь треугольника \(AED\) равна \(0,5 \cdot AD \cdot h\), где \(h\) – высота, опущенная из точки \(E\) на \(AD\). Пусть эта высота пересекает \(AD\) в точке \(F\), тогда \(FECD\) – параллелограмм (\(EF \parallel CD, \ EC \parallel FD\)), значит, \(h = CD\) и площадь прямоугольника \(ABCD\) равна \(AD \cdot h\), то есть она в два раза больше, чем площадь треугольника \(AED\) и, следовательно, равна 6.

\(AD = CD\); по теореме Пифагора находим: \(AC^2 = AD^2 + CD^2 = 2\cdot AD^2\), тогда \(AD^2 = 50\), но площадь квадрата \(ABCD\) и равна \(AD^2\).

Пусть \(E\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\).

В квадрате диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, тогда \(AE = ED \ \Rightarrow \triangle ADE \) — равнобедренный.

Опустим из точки \(E\) высоту \(EF\) на \(AD\) (длина \(EF\) и есть расстояние от точки \(E\) до стороны). Так как \(\triangle ADE \) — равнобедренный, то \(EF\) является и медианой, но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(EF = 0,5\cdot AD\).

Тогда \(AD = 10\), следовательно, площадь квадрата \(ABCD\) равна \(100\).

Площадь прямоугольника равна \(S_1=ab\), площадь параллелограмма равна \(S_2=ab\cdot \sin\alpha\). Из условия следует, что \(2S_2=S_1\). Следовательно: \[2ab\cdot \sin\alpha=ab\quad\Rightarrow\quad \sin\alpha=\dfrac12\quad\Rightarrow \quad \alpha=30^\circ\]