Площадь треугольника (страница 2)

Применим формулу Герона для поиска площади треугольника:  

\(S=\sqrt{\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2\cdot \left(\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2-\sqrt{13}\right)\cdot \left(\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2-5\right)\cdot \left(\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2-6\right)}=\)  

\(=\sqrt{\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{6+5-\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{6+\sqrt{13}-5}2\cdot \dfrac{5+\sqrt{13}-6}2}=\)  

\(=\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{11-\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{\sqrt{13}+1}2\cdot \dfrac{\sqrt{13}-1}2}=\dfrac14\cdot \sqrt{\left(11^2-(\sqrt{13})^2\right)\cdot \left((\sqrt{13})^2-1^2\right)}=\)  

\(=\dfrac14\cdot \sqrt{(121-13)(13-1)}=\dfrac14\cdot \sqrt{(4\cdot 3\cdot 9)\cdot (4\cdot 3)}=\dfrac14\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2=9\).

Рассмотрим этот треугольник. Проведем высоту к стороне, равной \(22\):

Обозначим эту высоту за \(h\), а отрезки, на которые она разбила сторону, за \(x\) и \(22-x\). Запишем теорему Пифагора для двух получившихся прямоугольных треугольников:

\(\begin{cases} 197=h^2+(22-x)^2\\ 65=h^2+x^2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 197-65=(22-x)^2-x^2\\ 65=h^2+x^2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \)  

\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} 132=(22-x-x)(22-x+x)\\ 65=h^2+x^2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=8\\ h=1 \end{cases}\)  

Таким образом, площадь этого треугольника равна

\[S=\dfrac12\cdot 1\cdot 22=11\]

По формуле Герона квадрат площади треугольника равен

\(S^2=\dfrac{7+11+6\sqrt6}2\cdot \left(\dfrac{7+11+6\sqrt6}2-6\sqrt6\right)\cdot \left(\dfrac{7+11+6\sqrt6}2-7\right) \cdot \left( \dfrac{7+11+6\sqrt6}2-11\right)=\)  

\(=\dfrac{7+11+6\sqrt6}2\cdot \dfrac{7+11-6\sqrt6}2\cdot \dfrac{11+6\sqrt6-7}2\cdot \dfrac{7+6\sqrt6-11}2=\)  

\(=\dfrac1{16}\cdot (18+6\sqrt6)(18-6\sqrt6)(6\sqrt6+4)(6\sqrt6-4)=\)  

\(=\dfrac1{16}\cdot 6^2\cdot (3+\sqrt6)(3-\sqrt6)\cdot ((6\sqrt6)^2-4^2)=\dfrac{6^2\cdot 3\cdot 200}{16}=1350\).

Т.к. площадь треугольника равна полупроизведению высоты и стороны, к которой эта высота проведена, то с одной стороны площадь равна \[S=\dfrac12\cdot 6\cdot 4,\]

а с другой \[S=\dfrac12\cdot 8\cdot h,\]

где \(h\) – высота, которую нужно найти. Таким образом, получаем следующее равенство:

\[\dfrac12\cdot 6\cdot 4=\dfrac12\cdot 8\cdot h \quad \Leftrightarrow \quad h=3.\]

Т.к. катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(AC=0,5\cdot AB=0,5\cdot \sqrt[4]3\).

Т.к. \(\angle A=90^\circ -\angle B=60^\circ\), то площадь равна \[S=\dfrac12\cdot AC\cdot AB\cdot \sin 60^\circ=\dfrac12\cdot 0,5\cdot \sqrt[4]3\cdot \sqrt[4]3\cdot \dfrac{\sqrt3}2=\dfrac38=0,375.\]

Т.к. катеты относятся как \(5:4\), то их можно обозначить за \(4x\) и \(5x\). Тогда необходимо найти гипотенузу, по теореме Пифагора равную \(\sqrt{25x^2+16x^2}=\sqrt{41x^2}\).

Т.к. площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов, то \(S=0,5\cdot 5x\cdot 4x=10x^2=4,1\). Следовательно, \(x^2=0,41\).

Значит, гипотенуза равна \[\sqrt{41\cdot 0,41}=\sqrt{41\cdot 41\cdot 0,01}=41\cdot 0,1=4,1.\]

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S_{ABC}=0,5\cdot 14 \cdot 8\cdot \sin\angle B\).

Площадь треугольника \(A'BC'\) равна \(S_{A'BC'}=0,5\cdot A'B\cdot 4\cdot \sin\angle B\).

Таким образом, имеем равенство:

\[0,5\cdot 14 \cdot 8\cdot \sin\angle B=7\cdot 0,5\cdot A'B\cdot 4\cdot \sin\angle B \quad \Leftrightarrow \quad A'B=4.\]