Задачи, решающиеся неравенством
Таня бросила камень вниз с обрыва. Она может приближенно рассчитать высоту над уровнем моря (в метрах), на которой находился камень в момент времени \(t\) секунд (\(t\) отсчитывается с момента броска) по формуле \(h = 1000 - 20t - 5t^2\). Какое по ее подсчетам наибольшее время после броска камень находился на высоте не менее, чем 520 метров над уровнем моря, если она не ошиблась? Ответ дайте в секундах.
Время \(t\), в течение которого камень находился на высоте не менее, чем 520 метров, удовлетворяет неравенству \[1000 - 20t - 5t^2
\geqslant 520\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 + 4t - 96 \leqslant
0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 + 4t - 96 = 0\): \[t_1 = 8, \qquad \qquad t_2 = -12,\] тогда:
то есть наибольшее время, в течение которого камень находился на высоте не менее, чем 520 метров, равно 8 секунд.
Проводя опыты с погружением тела кубической формы в жидкость, Настя вспомнила, что на погружённое в жидкость тело действует выталкивающая сила (сила Архимеда), которая находится по формуле \(F_A = \rho gV\), где \(\rho\) – плотность воды в кг/м\(^3\), \(g = 9,8\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения, \(V\) – объем тела в м\(^3\). Она задумалась, в какое минимальное число раз надо увеличить каждое ребро куба, чтобы сила Архимеда, действующая на тело, увеличилась не менее чем в 64 раза. Какой ответ она должна получить при правильном вычислении?
Пусть длина ребра начального куба равна \(x\) м, тогда объем куба равен \(x^3\) м\(^3\), следовательно, начальная сила Архимеда равна \(F_{A_{\text{н}}} = \rho gx^3\). Обозначим ребро искомого куба за \(y\). Так как сила Архимеда должна увеличиться не менее чем в 64 раза, то \[\rho gy^3 \geqslant 64F_{A_{\text{н}}} = 64\rho
gx^3\qquad \Leftrightarrow\qquad y^3 - 64x^3\geqslant
0\qquad\Leftrightarrow\qquad y^3 - (4x)^3 \geqslant 0.\] Так как фактически в задаче просят найти именно отношение \(y\) к \(x\), то обозначим \(\dfrac{y}{x} = z\), откуда \(y = zx\), следовательно, \[(zx)^3 - (4x)^3 \geqslant 0.\] Последнее неравенство можно разделить на \(x^3\) с учётом того, что \(x^3 > 0\) (так как \(x > 0\)). В результате получим \[z^3 - 4^3\geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(z^3 - 4^3 = 0\): \(z = 4\), тогда:
то есть минимальное число раз, в которое надо увеличить ребро куба, чтобы сила Архимеда, действующая на тело, увеличилась не менее чем в 64 раза, равно 4.
Максим подкинул монетку, высота которой до падения меняется по закону \[h = 1,2 + 15t - 5t^2,\] где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента подкидывания. Сколько секунд монетка будет находиться на высоте не менее \(11,2\) метра?
Монетка будет находиться на высоте не менее \(11,2\) метра в те моменты \(t\), которые удовлетворяют неравенству \[1,2 + 15t - 5t^2
\geqslant 11,2 \qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 -3t + 2\leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(\,t^2 -3t + 2 = 0\): \[t_1 = 1,\qquad\qquad t_2 = 2,\] тогда:
то есть монетка находилась на высоте не менее \(11,2\) метра в моменты \(t \in [1;2]\), тогда она находилась на высоте не менее \(11,2\) метра в течение \(2 - 1 = 1\) секунды.
Объем спроса \(Q\) единиц в месяц на продукцию предприятия \(M\) зависит от цены \(P\) в тыс. руб. по формуле \(Q(P) = 55 - P\). Месячная выручка \(R\) в тыс. руб. предприятия \(M\) вычисляется по формуле \(R = P\cdot Q\). Определите наибольшую цену \(P\), при которой месячная выручка \(R\) окажется не менее \(250\) тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.
\[R = P\cdot Q = 55P - P^2.\] Месячная выручка составит не менее \(250\) тыс. руб. при цене \(P\), которая может быть найдена из неравенства \[55P - P^2 \geqslant 250\qquad\Leftrightarrow\qquad P^2 - 55P + 250
\leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(P^2 - 55P + 250 = 0\): \[P_1 = 5,\qquad\qquad P_2 = 50,\] тогда:
то есть наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее \(250\) тыс. руб., равна 50 тыс. руб.
Подводная лодка “Скумбрия” плывет с постоянной скоростью \(v_0 = 20\) узлов (1 узел = 1 морская миля в час). В момент времени \(t = 0\) часов она выпускает торпеду, которая до попадания в цель разгоняется с постоянным ускорением \(a = 80\) узлов в час. Расстояние в морских милях от места пуска торпеды до торпеды определяется из формулы \[S = v_0t+\dfrac{at^2}{2}.\] Определите в течение какого времени с момента пуска торпеда плыла последние \(1,3\) морской мили до цели, если в момент пуска расстояние до неподвижной цели было 2,4 морских мили. Ответ дайте в часах.
Разделим путь торпеды на 2 участка: участок А – первые 1,1 морской мили пути; участок В – последние 1,3 морской мили пути. Тогда моменты \(t\), в которые торпеда будет находиться на участке В, удовлетворяют двойному неравенству \[1,1 \leqslant 20t + 40t^2 \leqslant 2,4.\] Решим два неравенства по очереди.
Рассмотрим неравенство \(1,1 \leqslant 20t + 40t^2\). Оно равносильно неравенству \[40t^2 + 20t - 1,1 \geqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(20t + 40t^2 - 1,1 = 0\): \[t_1 = -0,55,\qquad\qquad t_2 = 0,05,\] тогда:
но с учётом того, что \(t \geqslant 0\), подходят только \(t \geqslant
0,05\).
Рассмотрим теперь неравенство \(20t + 40t^2 \leqslant 2,4\). Оно равносильно неравенству \[40t^2 + 20t - 2,4 \leqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(20t + 40t^2 - 2,4
= 0\): \[t_1 = -0,6,\qquad
\qquad t_2 = 0,1,\] тогда:
но с учётом того, что \(t \geqslant 0\), подходят только \(0 \leqslant
t \leqslant 0,1\).
В итоге торпеда находилась на участке В в моменты \(0,05 \leqslant t \leqslant 0,1\), то есть в течение \(0,1 - 0,05 = 0,05\) часа.
Маша подбросила мячик, высота которого до падения меняется по закону \(h = 1 + 7t - 5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента подбрасывания. Сколько секунд с момента подбрасывания мячик находился на высоте не менее \(1\) метра, но не более \(2,2\) метра?
Моменты \(t\), в которые мячик находился на высоте не менее \(1\) метра, но не более \(2,2\) метра, удовлетворяют двойному неравенству \[1 \leqslant 1 + 7t - 5t^2 \leqslant 2,2.\] Решим два неравенства по очереди.
Рассмотрим неравенство \(1 \leqslant 1 + 7t - 5t^2\). Оно равносильно неравенству \[5t^2 - 7t \leqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(5t^2 - 7t = 0\): \[t_1 = 0,
\qquad\qquad t_2 = 1,4,\] тогда:
тогда решениями этого неравенства будут \(t\in[0; 1,4]\).
Рассмотрим теперь неравенство \(1 + 7t - 5t^2 \leqslant 2,2\). Оно равносильно неравенству \[5t^2 -7t + 1,2 \geqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(5t^2 -7t + 1,2 =
0\): \[t_1 = 0,2, \qquad\qquad
t_2 = 1,2,\] тогда:
но с учётом того, что \(t \geqslant 0\), подходят только \(t\in[0; 0,2]
\cup [1,2; +\infty)\).
В итоге мячик находился на высоте не менее \(1\) метра, но не более \(2,2\) метра в моменты \(t\in[0; 0,2] \cup [1,2; 1,4]\), то есть в течение \((0,2 - 0) + (1,4 - 1,2) = 0,4\) секунды.
Для системы \(N\) материальных точек справедлив второй закон Ньютона \[F = m_1a_1 + ... + m_Na_n,\] где \(F\) – сила в ньютонах, \(m_i\) – масса \(i\)-ой точки в кг, \(a_i\) – ускорение \(i\)-ой точки в м/с\(^2\). Пусть система состоит из 5 материальных точек с массами \(m_1 = 1,\ m_2 = 2,\ m_3 = 1,\ m_4 = 2,\ m_5\) и ускорениями \(a_1 = 1,\ a_2 = 2,\ a_3 = 2,\ a_4 = 4,\ a_5\), пусть сила при этом \(F = 40\). В какое минимальное число раз надо увеличить ускорение 5-ой точки, чтобы сила \(F\) увеличилась не менее чем в 3 раза?
Пусть \(m_{5_0}\) и \(a_{5_0}\) – начальные параметры 5-ой точки, тогда изначально \[F_0 = 1\cdot 1 + 2\cdot 2 + 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + m_{5_0}a_{5_0} = 15 + m_{5_0}a_{5_0} = 40,\] откуда \(m_{5_0}a_{5_0} = 25\) Н. При увеличении силы не менее чем в 3 раза имеем: \[15 + m_{5_0}a_5 = F \geqslant 3F_0 = 120,\ \Leftrightarrow\ m_{5_0}a_5 \geqslant 105 = \dfrac{105}{25}\cdot 25 = \dfrac{105}{25}m_{5_0}a_{5_0},\ \Leftrightarrow\ a_5 \geqslant 4,2\cdot a_{5_0},\] то есть ускорение 5-ой точки надо увеличить минимум в 4,2 раза.
