Задачи, решающиеся уравнением
Иван вертикально бросил камень вниз с двух башен А и В (с начальными скоростями, равными 0). В результате он обнаружил, что время падения камня с башни А равно 2 секундам, а с башни В – 2,5 секунды. Иван может приближенно рассчитать высоту любой башни по формуле \(h = 5t^2\), где \(h\) – высота этой башни в метрах, \(t\) – время падения с неё камня в секундах. На сколько согласно подсчётам Ивана башня В выше, чем башня А? Ответ дайте в метрах.
Первый способ:
Разность высот башен В и А равна \(5\cdot{2,5}^2 - 5\cdot 2^2 = 5\cdot(6,25 - 4) = 5\cdot 2,25 = 11,25\) метра.
Второй способ:
Высота башни В равна \(5\cdot{2,5}^2 = 5\cdot 6,25 = 31,25\) метра,
высота башни А равна \(5\cdot 2^2 = 5\cdot 4 = 20\) метрам,
башня В выше башни А на \(31,25 - 20 = 11,25\) метра.
Высота подброшенной Борисом вверх гранаты до взрыва меняется по закону \(h = 1 + 25t - 5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента броска. При этом граната взрывается, как только достигнет высоты \(h = 31\) метр. Какое максимальное время пролетит граната до взрыва? Ответ дайте в секундах.
Так как граната взрывается на высоте \(h = 31\) метр, то момент \(t\) взрыва может быть найден из уравнения \[1 + 25t - 5t^2 = 31\qquad\Leftrightarrow\qquad 5t^2 - 25t + 30 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad 5(t^2 - 5t + 6) = 0,\] откуда находим корни \[t_1 = 2, \ t_2 = 3.\] Так как граната взрывается сразу, как только впервые достигнет высоты \(h = 31\) метр, то максимальное время с момента броска до взрыва равно \(2\) секундам (через 2 секунды после броска граната достигает высоты 31 метр, взрывается и её высота больше не меняется по закону \(h = 1 + 25t - 5t^2\)).
Агентство “Агентство” составляет рейтинг университетов на основании 4 показателей: \(P_1, \ P_2, \ P_3, \ P_4\). Итоговый рейтинг каждого университета вычисляется по формуле \[R = \dfrac{5P_1 + 4P_2 + 3P_3 - P_4}{K},\] где \(K\) – некоторое число, а показатели \(P_1, \ P_2, \ P_3, \ P_4\) оцениваются по 100-балльной шкале. Университет “Университет” получил по 50 баллов по всем оцениваемым показателям и его рейтинг оказался \(R = 50\). Чему равно \(K\)?
\[50 = \dfrac{5\cdot 50 + 4\cdot 50 + 3\cdot 50 - 50}{K} = \dfrac{11\cdot 50}{K},\] откуда \(K = 11.\)
Эсминец “Тихий” плывет с постоянной скоростью \(v_0 = 33\) узла (1 узел \(=\) 1 морская миля в час). В момент времени \(t = 0\) часов он выпускает торпеду, которая до попадания в цель разгоняется с постоянным ускорением \(a = 66\) узлов в час. Расстояние в морских милях от места пуска торпеды до торпеды определяется из формулы \[S = v_0t+\dfrac{at^2}{2}.\] Определите время с момента пуска (в часах), за которое торпеда поразит неподвижную цель, если расстояние от цели до места пуска торпеды равно \(0,6732\) морской мили.
Время, за которое торпеда поразит неподвижную цель, можно найти из уравнения \[v_0t+\dfrac{at^2}{2} = 0,6732,\] что при учёте значений для скорости и ускорения равносильно \[33t + 33t^2 = 0,6732 \quad\Leftrightarrow\quad t^2+t-0,0204=0\] Дискриминант уравнения \[D=1+0,0816=1,0816=2^6\cdot 13^2\cdot 10^{-4}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{D}=2^3\cdot 13\cdot 10^{-2}=1,04.\] У данного квадратного уравнения имеется два корня \(t_1 = 0,02,\ t_2 = -1,02\), но время \(t > 0\), тогда \(t = 0,02\) часа.
Для системы \(N\) материальных точек справедлив второй закон Ньютона \[F = m_1a_1 + ... + m_Na_N,\] где \(F\) – сила в ньютонах, \(m_i\) – масса \(i\)-ой точки в кг, \(a_i\) – ускорение \(i\)-ой точки в м/с\(^2\). Пусть система состоит из 5 материальных точек с массами \(m_1 = 1,\ m_2 = 2,\ m_3 = 3,\ m_4 = 4,\ m_5\) и ускорениями \(a_1 = 1,\ a_2 = 1,\ a_3 = 1,\ a_4 = 1,\ a_5\), пусть сила при этом \(F = 30\) Н. Во сколько раз увеличится сила \(F\) при увеличении ускорения 5-ой точки в \(2,5\) раза?
Пусть \(m_5\) и \(a_5\) – начальные параметры 5-ой точки, тогда изначально \[F = 1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 3\cdot 1 + 4\cdot 1 + m_5a_5 = 10 + m_5a_5 = 30\ \mathrm{H}.\] откуда \(m_5a_5 = 20\) Н.
После увеличения ускорения 5-ой точки в \(2,5\) раза сила станет \[F = 1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 3\cdot 1 + 4\cdot 1 + m_5\cdot 2,5a_5 = 10 + 2,5m_5a_5 = 10 + 2,5\cdot 20 = 60\ \mathrm{H},\] то есть увеличится в 2 раза.
Для системы \(N\) материальных точек справедлив второй закон Ньютона \[F = m_1a_1 + ... + m_Na_N,\] где \(F\) – сила в ньютонах, \(m_i\) – масса \(i\)-ой точки в кг, \(a_i\) – ускорение \(i\)-ой точки в м/с\(^2\). Пусть система состоит из 3 материальных точек с массами \(m_1 = m_2 = 0,5m_3\) и ускорениями \(a_1 = a_2 = a_3\). Во сколько раз увеличится сила \(F\) при увеличении ускорения 3-ей точки в \(4\) раза?
Пусть \(m_i\) и \(a_i\) – начальные параметры \(i\)-ой точки, тогда изначально \[F = m_1a_1 + m_2a_2 + m_3a_3 = 0,5m_3a_3 + 0,5m_3a_3 + m_3a_3 = 2m_3a_3.\] После увеличения ускорения 3-ей точки в \(4\) раза сила станет \[F = m_1a_1 + m_2a_2 + m_3\cdot 4a_3 = 0,5m_3a_3 + 0,5m_3a_3 + 4m_3a_3 = 5m_3a_3,\] то есть увеличится в \(2,5\) раза.
Относительное удлинение твёрдого стержня может быть найдено по формуле \[\mathcal{E} = \dfrac{l - l_0}{l_0},\] где \(l_0\) – начальная длина стержня (в метрах), \(l\) – конечная длина (в метрах). Длина стержня сначала увеличилась (состояние 1) в \(1,2\) раза, а затем уменьшилась (состояние 2) и стала составлять \(80\%\) от длины, которая была в состоянии 1. Какое относительное удлинение получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию?
В состоянии 1 длина стержня стала \(1,2l_0\), а после перехода в состояние 2 она стала составлять \[\dfrac{80}{100}\cdot 1,2l_0 = 0,96l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно \[\mathcal{E} = \dfrac{0,96l_0 - l_0}{l_0} = -0,04.\]
