Уравнения и системы уравнений повышенного уровня сложности

Способ 1 (топорный) Раскроем скобки и приведём подобные члены:

\[\begin{aligned} (x + 1)(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 1) &= 2\\ 2x^3 + 3x^2 + 3x + 2 &= 0.\end{aligned}\]

Получаем кубическое уравнение. Для решения нужно разложить левую часть на множители. Нетрудно заметить, что можно объединить члены с одинаковыми коэффициентами: \[\begin{aligned} 2(x^3 + 1) + 3x(x + 1) &= 0\\ 2(x + 1)(x^2 - x + 1) + 3x(x+1) &= 0\\ (x + 1)(2x^2 - 2x + 2 + 3x) &= 0\\ (x + 1)(2 x^2 + x + 2) &= 0\\ \left[\begin{gathered} x + 1 = 0\\ 2 x^2 + x + 2 = 0 \end{gathered}\right.\end{aligned}\]

Получим в первом уравнении \(x = -1\), во втором корней не будет, поскольку \(D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = -15 < 0\).

Способ 1 (красивый)

Заметим, что два слагаемых не очень сильно друг от друга отличаются. В каждом из них можно выделить выражение \((x + 1)(x^2 + 1)\). Представим теперь уравнение, используя это выражение:

\[\begin{aligned} (x + 1)(x^2 + 1) + (x + 1) + (x + 1)(x^2 + 1) + (x^2 + 1) &= 2\\ 2(x + 1)(x^2 + 1) + (x + 1) + (x^2 - 1) &= 0\\ 2(x + 1)(x^2 + 1) + (x + 1) + (x - 1)(x + 1) &= 0\\ (x + 1)(2x^2 + 2 + 1 + x - 1) &= 0\\ (x + 1)(2x^2 + x + 2) &= 0.\end{aligned}\]

Далее решение совпадает с решением в первом способе.

Приведём левую часть к общему знаменателю: \[\begin{aligned} 3\cfrac{x^3 + 1}{x^2} - 7\cfrac{x + 1}{x} &= 0\\ \cfrac{3x^3 + 3}{x^2} - \cfrac{7 x^2 + 7x}{x^2} &= 0\\ \cfrac{x + 1}{x^2}\left( 3(x^2 - x + 1) - 7x \right)&= 0\\ \cfrac{x + 1}{x^2}\left( 3x^2 - 10x + 3 \right)&= 0\\\end{aligned}\] \[\left[\begin{aligned} x + 1 = 0 &\Longleftrightarrow x = -1;\\ 3x^2 - 10x + 3 = 0 &\Longleftrightarrow D = 100 - 36 = 64 = 8^2,\qquad x_1 = \dfrac{10 + 8}{6} = 3,\quad x_2 = \dfrac{10 - 8}{6} = \dfrac{1}{3}. \end{aligned}\right.\]

Разобьем на пары члены \(x^2\), \(x^{-2}\) и \(x\), \(x^{-1}\). Почему именно так? Ответ кроется в формуле квадрата суммы/разности \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\). Если рассматривать эти члены как \(a^2\) и \(b^2\), то тогда член \(2ab\) будет равен 2. Тогда уравнение преобразуется следующим образом (с учетом того, что мы тем самым накладываем дополнительное ОДЗ \(x \geqslant 0\), которое нас устраивает, поскольку просят найти положительный корень):

\[\left( x - \dfrac{1}{x}\right)^2 + \left( \sqrt{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = 0\] \[\left[\begin{aligned} x - \dfrac{1}{x} &= 0\\ \sqrt{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} &= 0 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left[\begin{aligned} x^2 - 1 &= 0\\ x - 1 &= 0 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= \pm 1\\ x &= 1 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow x = 1\]