Системы линейных уравнений

В данном случае удобно решить систему путем сложения уравнений. Для этого умножим второе уравнение на 2 и получим \(-6x-4y=4\). Теперь сложим оба уравнения и полученное равенство запишем вместо, например, первого уравнения: \[\begin{aligned} &\begin{cases} 5x+4y+(-6x-4y)=-4+4 \\ -3x-2y=2 \end{cases} \quad\Rightarrow\\[2ex] &\begin{cases} -x=0 \\ -3x-2y=2 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} x=0\\[1ex] y=\dfrac{2+3\cdot 0}{-2}=-1 \end{cases} \end{aligned}\] Тогда ответом будет \(x+y=0-1=-1\).

В данном случае удобно решить систему путем вычитания уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое и полученное равенство запишем вместо, например, первого уравнения: \[\begin{aligned} &\begin{cases} -5x+9y-(-5x+5y)=4-(-2) \\ -5x+9y=4 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} -5x+9y+5x-5y=6 \\ -5x+9y=4 \end{cases} \quad\Rightarrow\\[2ex] &\begin{cases} 4y=6\\[1ex] x=\dfrac{4-9y}{-5} \end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} y=1,5\\[1ex] x=1,9 \end{cases} \end{aligned}\] Тогда ответом будет \(x+y=1,5+1,9=3,4\).

В данном случае удобно решить систему путем сложения уравнений. Для этого сложим оба равенства и полученное равенство запишем вместо, например, первого уравнения: \[\begin{aligned} &\begin{cases} 6x-y+(-x+y)=2+(-1) \\ -x+y=-1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} 5x=1 \\ y=-1+x \end{cases} \quad\Rightarrow\\[2ex] &\begin{cases} x=\frac15\\[1ex] y=-1+\frac15 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} x=0,2\\[1ex] y=-0,8 \end{cases} \end{aligned}\] Тогда ответом будет \(x+y=0,2+(-0,8)=-0,6\).

Выразим из первого уравнения \(y\) и подставим его во второе уравнение.
Из первого уравнения \(y=\dfrac{-9-4x}{-2}=\dfrac{9+4x}2\). Следовательно, второе уравнение примет вид \[\begin{aligned} &3x-3\cdot \dfrac{9+4x}2=-6 \quad \Rightarrow\\[1ex] &\dfrac{6x}2-\dfrac{27+12x}2=-6\quad\Rightarrow\\[1ex] &\dfrac{6x-(27+12x)}2=-6\quad \Rightarrow\\[1ex] &\dfrac{-27-6x}2=-6 \ \Big|\cdot 2\quad \Rightarrow\\[1ex] &-27-6x=-12 \quad\Rightarrow\\[1ex] &x=\dfrac{-12+27}{-6}=-\dfrac{15}6=-\dfrac52=-2,5 \end{aligned}\] Теперь найдем \(y\): \[y=\dfrac{9+4x}2=\dfrac{9+4\cdot (-2,5)}2=\dfrac{9-10}2=-0,5\] Тогда в ответ нужно записать \(xy=-2,5\cdot (-0,5)=1,25\).

Способ 1: метод подстановки Из второго уравнения выражается \(y = 10x - 12\). Подставим это выражение вместо \(y\) в первое уравнение: \(x + 5(10x - 12) = -9\quad\Leftrightarrow\quad 51x -51 = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x = 1 \quad\Leftrightarrow\quad y = 10 \cdot 1 - 12 = -2\).

Способ2: метод операций со строками Домножим какую-нибудь из строк на такое число, чтобы одна из переменных при сложении или вычитании новых строк сократилась. Допустим, мы хотим, чтобы сократилась переменная \(x\). Для этого нужно первое уравнение умножить на 10 и вычесть из него второе. Получим уравнение: \[\begin{aligned} 10x + 50y - 10x + y &= -90 - 12\\ 51y &= - 102\\ y &= -2.\end{aligned}\] Подставляя это значение в любое из уравнений, выясним, что \(x = 1\).

\[\begin{cases}\begin{aligned} 3x + 4y &= 13\quad &\left| \cdot 2\right.\\ 2x - 7y &= -30\quad &\left| \cdot 3\right. \end{aligned} \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\begin{aligned} 6x + 8y &= 26\\ 6x - 21y &= -90 \end{aligned} \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\begin{aligned} 6x + 8y &= 26\\ 6x - 21y &= -90 &\left| \div 3\right. \end{aligned} \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad\] \[\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\begin{aligned} 29y &= 116\\ 2x - 7y &= -30 \end{aligned} \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\begin{aligned} y &= 4\\ x &= 3,5y - 15 = -1 \end{aligned} \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad\]

\[\begin{cases}\begin{aligned} 9x + 11y &= 202\\ x &= \dfrac{9}{11}y \end{aligned} \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\begin{aligned} 9\cdot \dfrac{9}{11}y + 11y &= 202 \quad\left| \cdot 11\right.\\ x &= \dfrac{9}{11}y \end{aligned} \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\begin{aligned} 81y + 121y &= 202 \cdot 11\\ x &= \dfrac{9}{11}y \end{aligned} \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad\] \[\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\begin{aligned} 202y &= 202 \cdot 11\\ x &= \dfrac{9}{11}y \end{aligned} \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\begin{aligned} y &= 11\\ x &= \dfrac{9}{11}y = 9 \end{aligned} \end{cases}\]