Задачи на движение по прямой (страница 3)

Пусть \(x\) км/ч – скорость быстрого (следовательно, \(x>10\)). Тогда \(x-10\) км/ч – скорость, с которой быстрый удаляется от медленного. Значит, за 6 часов он удалится от медленного на \(6\cdot(x-10)\) км, следовательно, \(6(x-10)=48\), откуда \(x=18\).



За 3,5 ч медленный пройдет 35 км, следовательно, если быстрому нужно отъехать назад на \(s\) км, то он должен за 3,5 ч пройти \(s+35\) км. Следовательно, \(18\cdot 3,5=s+35\), откуда \(s=28\).

Заметим, что за каждый час второй велосипедист будет проходить на \(17-12=5\) км больше, чем первый. Следовательно, 5 км/ч – скорость удаления. Изначально между велосипедистами было расстояние 13 км, стало – 58 км, следовательно, расстояние между ними изменилось на \(58-13=45\) км. Значит, прошло \(45:5=9\) часов.

Заметим, что за каждый час второй велосипедист будет проходить на \(18-10=8\) км больше, чем первый. Следовательно, 8 км/ч – скорость удаления. Изначально между велосипедистами было расстояние 0 км, стало – 104 км, следовательно, расстояние между ними изменилось на 104 км. Значит, прошло \(104:8=13\) часов.

Пусть \(x\) км/ч – скорость парома из А в В. Тогда можно составить такую картинку-схему:



Время в часах, которое паром затратил из А в В, равно \[\dfrac{704}{x}\] Время в часах, которое он затратил из В в А, равно \[\dfrac{704}{x+5}+20\] Так как это время оказалось одинаковым, то получается следующее уравнение \[\dfrac{704}x=\dfrac{704}{x+5}+20 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{704(x+5)-704x}{x(x+5)}=20 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{176}{x(x+5)}=1 \quad\Leftrightarrow\quad x^2+5x-176=0\] Дискриминант \(D=5^2+4\cdot 176=729=27^2\), следовательно, корни \[x_1=\dfrac{-5+27}{2}=11 \quad {\small{\text{и}}} \quad x_2=\dfrac{-5-27}{2}=-16\] Так как скорость – величина положительная, то \(x=11\).
Не забудем вернуться к условию и проверить, что необходимо было найти: скорость парома на пути из В в А. Следовательно, ответ \(x+5=16\).

Пусть скорость первого автомобилиста равна \(x\) км/ч, \(S\) км – расстояние от А до Б. Тогда можно составить такую картинку-схему:



Тогда время в часах, которое первый затратил на дорогу, равно \[\dfrac Sx\] Время в часах, которое второй затратил на дорогу, равно \[\dfrac{\frac S2}{84}+\dfrac{\frac S2}{x-11,2}\] Так как оба прибыли одновременно в пункт Б, то есть затратили на дорогу одинаковое время, то получаем следующее уравнение: \[\dfrac Sx=\dfrac{\frac S2}{84}+\dfrac{\frac S2}{x-11,2}\] Заметим, что можно разделить обе части уравнения на \(S\), так как \(S\ne 0\). Приведем к общему знаменателю и перенесем все слагаемые в одну сторону: \[\dfrac{x^2-(84+11,2)x+2\cdot 84\cdot 11,2}{2\cdot 84\cdot x\cdot (x-11,2)}=0\] Решим уравнение \(x^2-(84+11,2)x+2\cdot 84\cdot 11,2=0\). Домножим его на \(10\): \(10x^2-952x+2\cdot 84\cdot 112=0\).
Дискриминант \[D=952^2-4\cdot 10\cdot 2\cdot 84\cdot 112=7^2\cdot 2^6\cdot 17^2-2^{10}\cdot 3\cdot 5\cdot 7^2=7^2\cdot 2^6\cdot (289-240)=(7\cdot 2^3\cdot 7)^2=392^2\] Следовательно, корнями будут \[x_1=\dfrac{952+392}{20}=67,2 \quad {\small{\text{и}}} \quad x_2=\dfrac{952-392}{20}=28\] Так как скорость больше 50, то ответом будет число 67,2.

За каждый час яхта проходила бы 30 км, или 30000 метров, значит, за минуту она проходила бы \(30\,000:60=500\) метров. Так как за каждую минуту ветер сносит ее на 20 метров, то в итоге за минуту яхта проходит 480 метров. Следовательно, ей понадобится \(259\,200:480=540\) минут или \(540:60=9\) часов.

Так как за час катер проходил бы 35 км, но ветер сносит его назад на 3 км, то в итоге за час катер проходит 32 км. Следовательно, 144 км катер пройдет за \(144:32=4,5\) часа.