Задачи на проценты
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на \(4\%\). На сколько процентов шесть таких же рубашек дороже куртки?
Пусть \(x\) – цена рубашки, а \(y\) – цена куртки. Тогда стоимость 4 рубашек составляет \(0,96\%\) от стоимости куртки: \(4x=0,96y\).
Нужно найти \(6x\): \[6x=\dfrac32\cdot 4x=\dfrac32\cdot 0,96y=1,44y\] Следовательно, стоимость 6 рубашек составляет \(144\%\) от стоимости куртки, то есть дороже куртки на \(44\%\).
В государстве \(\pi\) в 2012 году ЕГЭ по математике не сдали 20000 выпускников. В 2013 году число не сдавших уменьшилось на 5\(\%\), а в 2014 году – увеличилось на 17\(\%\) по сравнению с 2013 годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по математике в 2014 году в государстве \(\pi\)?
В 2013 году число не сдавших составило \(100\%-5\%=95\%\) от числа не сдавших в 2012 году, тогда в 2013 году не сдали ЕГЭ по математике \[20000 \cdot \dfrac{95}{100} = 19000 \ \text{выпускников}.\] В 2014 году число не сдавших составило \(100\%+17\%=117\%\) от числа не сдавших в 2013 году, тогда в 2014 не сдали ЕГЭ по математике \[19000 \cdot \dfrac{117}{100} = 22230\ \text{выпускника}.\]
В государстве \(\nabla\) в 2014 году ЕГЭ по физике не сдали 1500 выпускников. В 2015 году число не сдавших выросло на 10\(\%\), а в 2016 году – увеличилось на 34\(\%\) по сравнению с 2015 годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по физике в 2016 году в государстве \(\nabla\)?
В 2015 году число не сдавших составило \(100\%+10\%=110\%\) от числа не сдавших в 2014 году, тогда в 2015 году не сдали ЕГЭ по физике \[1500 \cdot \dfrac{110}{100} = 1650\ \text{выпускников}.\] В 2016 году число не сдавших составило \(100\%+34\%=134\%\) от числа не сдавших в 2015 году, тогда в 2016 не сдали ЕГЭ по физике \[1650 \cdot \dfrac{134}{100} = 2211\ \text{выпускников}.\]
В государстве \(\sigma\) на планете \(\Omega\) в 2010 году ЕГЭ по биологии не сдали \(10000\cdot 1121^{1443}\) выпускников. В 2011 году число не сдавших выросло на 5\(\%\), а в 2012 году – уменьшилось на 3\(\%\) по сравнению с 2011 годом. На сколько процентов увеличилось число выпускников, не сдавших ЕГЭ по биологии в 2012 году по сравнению с 2010 годом в государстве \(\sigma\) на планете \(\Omega\)?
В 2011 году число не сдавших составило \(100\%+5\%=105\%\) от числа не сдавших в 2010 году, тогда в 2011 году не сдали ЕГЭ по биологии \(10000\cdot 1121^{1443} \cdot 1,05\) выпускников. В 2012 году число не сдавших составило \(100\%-3\%=97\%\) от числа не сдавших в 2011 году, тогда в 2012 не сдали ЕГЭ по биологии \(10000\cdot 1121^{1443} \cdot 1,05 \cdot 0,97\) выпускников, что составляет \[\dfrac{10000\cdot 1121^{1443} \cdot 1,05\cdot 0,97}{10000\cdot 1121^{1443}}\cdot 100\% = \dfrac{1,05\cdot 0,97}{1}\cdot 100\% = 101,85\%\] от числа выпускников, не сдавших в 2010 году.
В среду молоко подорожало на \(x\) процентов, а в четверг подешевело на \(x\) процентов. В результате молоко стало стоить на \(1\%\) дешевле, чем стоило во вторник (до подорожания). На сколько процентов дешевле стало бы молоко по сравнению со вторником, если бы оно сначала в среду подешевело на \(x\) процентов, а в четверг подорожало на \(x\) процентов?
Пусть молоко стоило во вторник \(S\) рублей.
После подорожания в среду молоко стало стоить \[\dfrac{100 + x}{100}\cdot S,\] после подешевения в четверг молоко стало стоить \[\dfrac{100 - x}{100}\cdot\left(\dfrac{100 + x}{100}\cdot S\right).\]
Если бы молоко сначала в среду подешевело на то же самое число процентов, а в четверг подорожало, то по аналогии оно стало бы стоить \[\dfrac{100 + x}{100}\cdot\left(\dfrac{100 - x}{100}\cdot S\right),\] то есть столько же, сколько оно стало стоить в первом сценарии. Значит, при втором сценарии оно стало бы дешевле тоже на \(1\%\).
В среду молоко подорожало на \(x\) процентов, а в четверг подорожало на \(2x\) процентов. В результате молоко стало стоить на \(15,5\%\) дороже, чем стоило во вторник (до подорожания). На сколько процентов подорожало молоко в среду?
Пусть молоко стоило во вторник \(S\) рублей.
После подорожания в среду молоко стало стоить \[\dfrac{100 + x}{100}\cdot S,\] после подорожания в четверг молоко стало стоить \[\dfrac{100 + 2x}{100}\cdot\left(\dfrac{100 + x}{100}\cdot S\right) = 1,155\cdot S,\] откуда \((100 + 2x)\cdot(100 + x) = 11550\), тогда \(10000 + 300x + 2x^2 = 11550\).
Решая квадратное уравнение, находим \(x_1 = 5\), \(x_2 = -155\). Ответ: в среду молоко подорожало на \(5\%\).
Три шоколадных батончика дороже шоколадки на \(11\%\). На сколько процентов четыре батончика дороже шоколадки?
Пусть \(b\) – цена батончика,
пусть \(s\) – цена шоколадки, тогда
\(\dfrac{111}{100}\cdot s = 3b\), откуда находим \(b = \dfrac{37}{100}s\), значит, \(4b = \dfrac{148}{100}s = s\left(1 + \dfrac{48}{100}\right)\),
то есть четыре батончика дороже шоколадки на \(48\%\).
