Задачи на проценты (страница 2)
Два шоколадных батончика дешевле пирожного на \(10\%\). На сколько процентов три батончика дороже пирожного?
Пусть \(b\) – цена батончика,
пусть \(p\) – цена пирожного, тогда
\(\dfrac{90}{100}\cdot p = 2b\), откуда находим \(b = \dfrac{45}{100}p\), значит, \(3b = \dfrac{135}{100}p = p\left(1 + \dfrac{35}{100}\right)\),
то есть три батончика дороже пирожного на \(35\%\).
Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович рубили головы змея Горыныча. Если бы Илья Муромец срубил голов вдвое больше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов выросло бы на \(45\%\). Если бы вместо этого Алёша Попович срубил голов в четыре раза меньше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов уменьшилось бы на \(15\%\). Сколько процентов от суммарного количества голов срубил Добрыня Никитич?
Пусть Илья Муромец срубил \(x\%\) от суммарного количества срубленных богатырями голов,
пусть Добрыня Никитич срубил \(y\%\) от суммарного количества срубленных богатырями голов,
пусть Алёша Попович срубил \(z\%\) от суммарного количества срубленных богатырями голов, тогда
\[x + y + z = 100.\]
Так как если бы Илья Муромец срубил голов вдвое больше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов выросло бы на \(45\%\), то:
\[2x + y + z = 145;\]
так как если бы вместо этого Алёша Попович срубил голов в четыре раза меньше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов уменьшилось бы на \(15\%\), то:
\[x + y + \dfrac{z}{4} = 85.\]
Подставляя в \(x + x + y + z = 145\) вместо \(x + y + z\) значение 100, получаем: \(x = 45\).
Подставляя в \(x + y + z - 0,75z = 85\) вместо \(x + y + z\) значение 100, получаем: \(z = 20\).
Таким образом, \(y = 35\).
Антон, Максим, Игорь, Тимур и Костя купили 1000 лотерейных билетов на общую сумму 30000 рублей. На эту покупку Антон и Игорь дали в сумме 8100 рублей, Максим дал \(15\%\) общей суммы, Тимур дал 0,3 общей суммы, а оставшуюся часть общей суммы внёс Костя. Ребята договорились в случае выигрыша поделить деньги пропорционально внесенному в общую сумму вкладу. В итоге они выиграли в сумме 2000000 рублей. Сколько рублей должен получить Костя?
Вклад Максима был \[\dfrac{15}{100} \cdot 30000 = 4500\ \text{рублей}.\] Вклад Тимура был \(0,3 \cdot 30000 = 9000\) рублей. Тогда вклад Кости был \(30000 - 8100 - 4500 - 9000 = 8400\) рублей, что составляет \[\dfrac{8400}{30000} = \dfrac{28}{100}\] от общей суммы (то есть \(28\%\)). Значит, Костя должен получить \(2000000 \cdot \dfrac{28}{100} = 560000\) рублей.
Два квадрокоптера дешевле 3-D принтера на \(70\%\). На сколько процентов пять квадрокоптеров дешевле 3-D принтера?
Пусть \(k\) – цена квадрокоптера,
пусть \(p\) – цена 3-D принтера, тогда
\[p(1 - 0,7) = 2k,\] откуда находим \(k = 0,15p\), значит, \[5k = 0,75p = p(1 - 0,25),\] то есть пять квадрокоптеров дешевле 3-D принтера на \(25\%\).
Игнат хранит деньги дома под подушкой. У него есть \(100\) рублей. Известно, что пакет молока \(1\) числа стоил \(65\) рублей. В течение последующих \(10\) дней молоко дорожало каждый день на \(10\%\) по сравнению с предыдущим днём. Какого числа Игнату впервые не хватило денег на пакет молока?
Спустя \(n\) дней молоко стало стоить \(65\cdot (1 + 0,1)^n\). Игнату не хватило денег на пакет молока, когда стало выполняться неравенство \[65\cdot 1,1^n > 100\qquad\Leftrightarrow\qquad 1,1^n > \dfrac{20}{13}\,.\]
Прямым вычислением можно убедиться, что при \(n = 4\) это неравенство ещё не выполняется, а при \(n = 5\) оно уже справедливо, то есть Игнату стало нехватать денег, когда после первого числа прошло не менее \(5\) дней. Таким образом, ответ: \(6\) числа.
Кофта во вторник подорожала на \(25\%\). На сколько процентов она должна была подешеветь в среду (относительно цены вторника), чтобы её цена стала первоначальной (как до повышения во вторник).
Пусть до вторника цена кофты была \(R\) рублей, \(R > 0\), тогда во вторник она стала \(1,25R\) рублей. Пусть в среду цена кофты уменьшилась на \(x\%\), тогда \[1,25R\cdot \left(1 - \dfrac{x}{100}\right) = R\quad\Leftrightarrow\quad x = 20\,,\] то есть кофта должна была подешеветь на \(20\%\).
В понедельник \(10\) числа крутого календаря батон подорожал на \(10\%\). Во вторник батон подешевел на \(10\%\) по сравнению с понедельником. В среду батон снова подорожал на \(10\%\) по сравнению со вторником. В четверг батон снова подешевел на \(10\%\) по сравнению со средой. И так далее. Сегодня выяснилось, что батон дороже, чем он был \(10\) числа (в понедельник) в \(1,0673289\) раз. Какое сегодня число согласно крутому календарю, если в нём по \(30\) дней в каждом месяце?
Пусть \(9\) числа батон стоил \(x\) рублей, тогда в понедельник он стоил \(1,1x\) рублей, во вторник он стоил \(1,1x\cdot 0,9 = 0,99x\) рублей, то есть за два дня после \(9\) числа батон подешевел. Аналогично, за четыре дня после \(9\) числа батон подешевел и т.д.
Таким образом, чтобы батон подорожал, после \(9\) числа могло пройти только нечётное количество дней. При этом за любые два дня, первый из которых – чётное число, стоимость батона умножалась на \(0,99\), тогда \[0,99^n\cdot 1,1\cdot x = 1,0673289 x\,,\] откуда находим, что \(n = 3\), то есть прошло \(3\) пары дней и ещё один, тогда сегодня \(16\) число крутого календаря.
