Решение систем неравенств, пересечение решений
Решите систему неравенств \(\begin{cases} \dfrac{2-x}{2+(3-x)^2}\geqslant 0,\\[2ex] 6-9x\leqslant 31-4x.\end{cases}\)
1) Рассмотрим первое неравенство. Решим его методом интервалов. Нуль числителя \(x=2\). Знаменатель не имеет нулей, так как \(2+(3-x)^2=0\) равносильно \((3-x)^2=-2\), а квадрат любого выражения – величина неотрицательная. Следовательно,
Значит, решением первого неравенство будут \(x\leqslant 2\).
2) Второе неравенство равносильно \(5x\geqslant -25\), откуда \(x\geqslant -5\).
3) Пересечем решения обоих неравенств:
Следовательно, \(x\in [-5;2]\).
Решите систему неравенств \(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x,\\(x-4)(x+8)<0\end{cases}\)
1) Первое неравенство равносильно \(8>2x\), откуда \(x<4\).
2) Второе неравенство решим методом интервалов:
Получим \(-8<x<4\).
3) Пересечем решения обоих неравенств:
Тогда \(x\in (-8;4)\).
