Вычисление объемов фигур (страница 2)

Объем шара радиуса \(R\) ищется по формуле \(V=\dfrac43 \pi R^3\). Следовательно, объем первого шара относится к объему второго как \[\dfrac{54}{V_2}=\dfrac{V_1}{V_2}= \dfrac{\frac43 \pi \,R_1^3}{\frac43 \pi \,R_2^3}=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3\] Так как радиус второго шара в 3 раза меньше радиуса первого шара, то \(R_1=3R_2\), следовательно, \[\dfrac{54}{V_2}=\left(\dfrac{3R_2}{R_2}\right)^3=27 \quad\Rightarrow\quad V_2=\dfrac{54}{27}=2.\]

Пусть \(O\) – центр основания большего конуса, \(Q\) – меньшего, а \(S\) – их общая вершина. В одной плоскости проведем радиусы \(OA\) и \(QB\), как показано на рисунке:



Тогда \(QB\parallel OA\) и \(\triangle SQB\sim \triangle SOA\). Следовательно, \[\dfrac{QB}{OA}=\dfrac{QS}{OS}=\dfrac13\] Тогда объем налитой жидкости к объему всего сосуда относится как \[\dfrac{V_{\small{\text{ж}}}}{2700}=\dfrac{V_{\small{\text{ж}}}}{V}= \dfrac{\frac13\cdot \pi\cdot QB^2\cdot QS}{\frac13\cdot \pi \cdot OA^2\cdot OS}= \left(\dfrac{QB}{OA}\right)^2\cdot \dfrac{QS}{OS}=\dfrac19\cdot \dfrac13=\dfrac1{27}\]

Следовательно объем жидкости равен \[V_{\small{\text{ж}}}=\dfrac1{27}V=100\]

Объем цилиндра вычисляется по формуле \(V=\pi R^2H\), где \(R\) – радиус основания, \(H\) – высота. Таким образом, во сколько раз увеличивается/уменьшается высота цилиндра, во столько же раз увеличивается/уменьшается объем цилиндра.
Следовательно, если жидкость заполнила сосуд лишь на треть, то есть высота жидкости в 3 раза меньше высоты сосуда, то и объем жидкости в 3 раза меньше объема сосуда, следовательно, объем жидкости равен \(2400:3=800\) см\(^3\).

Так как после погружения в жидкость предмета уровень повысился на четверть, то и занимаемый в сосуде объем повысился на четверть.
Закон Архимеда гласит, что объем вытесненной жидкости равен объему погруженного в нее предмета. Следовательно, объем предмета равен четверти объема жидкости, то есть \(800:4=200\) см\(^3\).

Объем шара радиуса \(R\) ищется по формуле \(V=\dfrac43 \pi R^3\). Следовательно, объем первого шара относится к объему второго как \[\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\frac43 \pi \cdot 6^3}{\frac43 \pi \cdot 2^3}= \left(\dfrac62\right)^3=27.\] Следовательно, объем первого шара в 27 раз больше объема второго шара.

Объем цилиндра с высотой \(H\) и радиусом основания \(R\) ищется по формуле \(V=\pi R^2H\). Тогда объем первого относится к объему второго цилиндра как \[\dfrac{16}{V_2}=\dfrac{\pi\,R_1^2\,H_1}{\pi\,R_2^2\,H_2}= \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2\cdot \dfrac{H_1}{H_2}\] Из условие следует, что \(R_1=\frac17R_2\), \(H_2=\frac18H_1\), следовательно, \[\dfrac{16}{V_2}=\left(\dfrac{\frac17R_2}{R_2}\right)^2\cdot \dfrac{H_1}{\frac18H_1}=\dfrac1{49}\cdot 8 \quad\Rightarrow\quad V_2=98.\]

Заметим, что из формулы физики \(V=\frac{m}{\rho}\) – объем равен отношению массы к плотности.
Пусть \(O\) – центр основания большего конуса, \(Q\) – меньшего, а \(S\) – их общая вершина. В одной плоскости проведем радиусы \(OA\) и \(QB\), как показано на рисунке:



Тогда \(QB\parallel OA\) и \(\triangle SQB\sim \triangle SOA\). Следовательно, \[\dfrac{OA}{QB}=\dfrac{OS}{QS}=\dfrac21\] так как по условию высота жидкости в два раза меньше высоты сосуда. Тогда для жидкости имеем: \[m_{\small{\text{ж}}}=V_{\small{\text{ж}}}\cdot \rho= \dfrac13\cdot \pi\cdot QS\cdot QB^2 \cdot \rho\] Следовательно, весь сосуд вмещает этой же жидкости \[m=V\rho=\dfrac13\cdot \pi\cdot OS\cdot OA^2\cdot \rho= \dfrac 13\cdot \pi\cdot 2QS\cdot (2QB)^2\cdot \rho= 8\cdot \left(\dfrac13\cdot \pi\cdot QS\cdot QB^2\cdot \rho\right)=8\cdot 75=600 \ {\small{\text{грамм}}}\] Значит, долить нужно \[600-75=525 \ {\small{\text{грамм}}}\]

Заметим, что в данной задаче использование плотности – чистая формальность.

Пусть плоскость провели через точку \(A'\) на ребре \(AS\). Так как плоскость параллельна плоскости основания, то она пересечет боковые грани по прямым \(A'B', \ B'C', \ C'D', \ D'A'\), параллельным соответственно \(AB, \ BC, \ CD, \ DA\), причем \(SA'B'C'D'\) – тоже правильная четырехугольная пирамида.



Рассмотрим плоскость \(ASO\). Проведем \(A'H\parallel SO\) (\(SO\) — высота исходной пирамиды). Тогда \(A'H\perp ABC\). Следовательно, это и есть расстояние, равное \(\frac13SO\), на котором от плоскости основания проведена (розовая) плоскость.
\(\triangle AA'H\sim \triangle ASO\), следовательно, \[\dfrac{SA}{AA'}=\dfrac{SO}{A'H}=3 \quad\Rightarrow\quad SA=3AA' \quad\Rightarrow\quad SA'=\dfrac23SA\] Также отсюда следует, что \(SQ=\frac23SO\).

\(\triangle ASB\sim \triangle A'SB'\), следовательно, \[\dfrac23=\dfrac{SA'}{SA}=\dfrac{A'B'}{AB} \quad\Rightarrow\quad A'B'=\dfrac23AB\] Таким образом, объемы маленькой и большой пирамид относятся как \[\dfrac{V_{{\small{\text{м}}}}}{V_{\small{\text{б}}}}= \dfrac{\frac13\cdot SQ\cdot A'B'^2}{\frac13\cdot SO\cdot AB^2}=\dfrac{SQ}{SO}\cdot \left(\dfrac{A'B'}{AB}\right)^2=\dfrac23\cdot \left(\dfrac23\right)^2=\dfrac8{27}\] Следовательно, объем маленькой пирамиды равен \[V_{{\small{\text{м}}}}=\dfrac8{27}\cdot 54=16.\]