Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций (страница 3)
\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).
\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.
\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Основные формулы поиска производной (\(f=f(x), g=g(x)\) – функции):
1. Умножение функции на число: \[(c\cdot f)'=c\cdot f'\]
2. Сумма или разность двух функций: \[(f\pm g)'=f'\pm
g'\]
\[\begin{array}{|r|c|c|}
\hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\
\hline
\textbf{1} & c & 0\\&&\\
\textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\
\textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\
\textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\
\textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\
\textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\
\textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\
\textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex]
\hline
\end{array} \quad \quad \quad \quad
\begin{array}{|r|c|c|}
\hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\
\hline
\textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\
\textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\
\textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\
\textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\
\textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\
\textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex]
\hline
\end{array}\]
Найдите наибольшее на полуинтервале I значение суммы функций \(f(x)\) и \(g(f(x))\), если I \(= (-4; 2]\), \(f(t) = t + 1\), \(g(z) = z^3 - 4z + 1\).
\(y = f(x) + g(f(x)) = x + 1 + g(x + 1) = x + 1 + (x + 1)^3 - 4(x + 1) + 1 = (x + 1)^3 - 3(x + 1) + 1\).
1) \(y' = 3(x + 1)^2 - 3\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3(x + 1)^2 - 3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2x = 0,\] откуда \(x_1 = 0\), \(x_2 = -2\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом полуинтервале \((-4; 2]\):
4) Эскиз графика на I:
Таким образом, \(x = -2\) – точка локального максимума функции \(y\) и наибольшее на I значение \(y\) достигает в ней или в \(x = 2\). Сравним эти значения:
\(y(-2) = (-1)^3 - 3\cdot(-1) + 1 = 3\),
\(y(2) = 3^3 - 3\cdot 3 + 1 = 19\).
Итого: наибольшее на I значение суммы \(f(x)\) и \(g(f(x))\) равно \(19\).
Найдите наименьшее значение функции \(f(x)=2x^4-2x^3-x^2+2\) на отрезке \([-1;1]\).
Найдем производную: \[y'=8x^3-6x^2-2x\]Найдем критические точки: \[y'=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x^3-6x^2-2x=0
\quad\Leftrightarrow\quad x_1=0, \ x_2=-\frac14\ \text{и}\ x_3=1\] Определим, какие из данных точек являются точками максимума/минимума, для этого найдем знаки производной на промежутках, образованных этими точками:
Таким образом, \(x=0\) – точка максимума, \(x=-\frac14\) и \(x=1\) – точки минимума.
Следовательно, на отрезке \([-1;1]\) функция схематично выглядит так:
Следовательно, наименьшее значение она принимает либо в точке \(x=-\frac14\), либо в точке \(x=1\). Сравним: \[\begin{aligned}
& f\left(-\frac14\right)=1\frac{125}{128}\\[1ex]
&f(1)=1 \end{aligned}\] Таким образом, наименьшее значение функции на данном отрезке равно \(1\).
Найдите наименьшее на отрезке I значение разности функций \(f(x)\) и \(g(x)\), если I \(= [-5; 5]\), \(f(t) = t^3 + 12t\), \(g(z) = 12z - 2\).
\(y = f(x) - g(x) = (x^3 + 12x) - (12x - 2) = x^3 + 2\)
1) \(y' = 3x^2\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3x^2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-5; 5]\):
4) Эскиз графика на отрезке \([-5; 5]\):
Таким образом, у функции \(y\) на отрезке I нет точек экстремума и наименьшее значение на I функция достигает в \(x = -5\) (так как \(y\) возрастает на I).
\(y(-5) = -125 + 2 = -123\).
Итого: наименьшее значение разности \(f(x)\) и \(g(x)\) на I равно \(-123\).
Найдите наименьшее значение функции \(y=13+75x-x^3\) на отрезке \([-5;5]\).
Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно схематично изобразить график функции на этом отрезке.
1) Найдем производную. \[y'=75-3x^2\]
2) Найдем нули производной: \[75-3x^2=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm 5\]
3) Найдем знаки производной на получившихся промежутках и изобразим схематично график функции:
Таким образом, мы видим, что на отрезке \([-5;5]\) функция \(y\) возрастает, следовательно, наименьшее значение на этом отрезке она принимает в точке \(x=-5\). Тогда \[y(-5)=13-5\cdot 75+5^3=-237\]