Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций (страница 2)
\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).
\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.
\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Все формулы:
1. Умножение функции на число: \[{\Large{(c\cdot f)'=c\cdot f'}}\]
2. Сумма или разность двух функций: \[{\Large{(f\pm g)'=f'\pm g'}}\]
3. Произведение двух функций: \[{\Large{(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}}\]
4. Частное двух функций: \[{\Large{\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}}}\]
5. Сложная функция: \[{\Large{f'(t(x))=f'(t)\cdot t'(x)}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|}
\hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\
\hline
\textbf{1} & c & 0\\&&\\
\textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\
\textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\
\textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\
\textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\
\textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\
\textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\
\textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex]
\hline
\end{array} \quad \quad \quad \quad
\begin{array}{|r|c|c|}
\hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\
\hline
\textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\
\textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\
\textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\
\textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\
\textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\
\textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex]
\hline
\end{array}\]
Найдите наименьшее значение функции \(y = 2x - \dfrac{9}{8x + 6} + 5\ln(-4x - 3)\) на промежутке \([-2; -0,75)\).
ОДЗ: \(4x + 3 < 0\).
1) \[y' = 2 + \dfrac{72}{(8x + 6)^2} + \dfrac{20}{4x + 3} = \dfrac{2(4x + 3)^2 + 18 + 20(4x + 3)}{(4x + 3)^2} = 32\cdot\dfrac{x^2 + 4x + 3}{(4x + 3)^2}\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[32\cdot\dfrac{x^2 + 4x + 3}{(4x + 3)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = -1\\ x = -3 \end{gathered} \right.\] Производная не существует при \(x \geqslant -0,75\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом промежутке \([-2; -0,75)\):
4) Эскиз графика на промежутке \([-2; -0,75)\):
Таким образом, наименьшего значения функция достигает в \(x = -1\).
\[y(-1) = -2 - \dfrac{9}{-8 + 6} + 5\ln(4 - 3) = 2,5\,.\] Итого: \(2,5\) – наименьшее значение функции \(y\) на промежутке \([-2; -0,75)\).
Найдите наименьшее значение функции \(y = \dfrac{2}{\ln(5) + 1}\cdot\left(\ln(-6x - 1) - \dfrac{5}{6x + 1}\right)\).
ОДЗ: \(6x + 1 < 0\).
1) \[y' = \dfrac{2}{\ln(5) + 1}\cdot\left(\dfrac{-6}{-6x - 1} + \dfrac{30}{(6x + 1)^2}\right) = \dfrac{72}{\ln(5) + 1}\cdot\dfrac{x + 1}{(6x + 1)^2}\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{72}{\ln(5) + 1}\cdot\dfrac{x + 1}{(6x + 1)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -1\,.\] Производная не существует при \(x \geqslant -\dfrac{1}{6}\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика:
Таким образом, наименьшего значения функция достигает в \(x = -1\).
\[y(-1) = \dfrac{2}{\ln(5) + 1}\cdot\left(\ln(5) - \dfrac{5}{-5}\right) = 2\,.\] Итого: \(2\) – наименьшее значение функции \(y\).
Найдите наименьшее значение функции \(y = (0,5x^2 - 6,5x + 13,25)e^{2x + 3}\) на отрезке \([-1,5; 2,5]\).
1) \[y' = (x - 6,5)e^{2x + 3} + 2e^{2x + 3}(0,5x^2 - 6,5x + 13,25) = e^{2x + 3}(x^2 - 12x + 20).\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[e^{2x + 3}(x^2 - 12x + 20) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 12x + 20 = 0\] (так как при любом \(x\) выражение \(e^{2x + 3} > 0\)), откуда находим корни \(x_1 = 2,\ x_2 = 10\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-1,5; 2,5]\):
4) Эскиз графика на отрезке \([-1,5; 2,5]\):
Таким образом, наименьшее значение на отрезке \([-1,5; 2,5]\) функция \(y\) достигает или в \(x = -1,5\), или в \(x = 2,5\). Сравним эти значения:
\(y(-1,5) = (0,5\cdot 2,25 + 6,5 \cdot 1,5 + 13,25)e^{-3 + 3} = 24,125 \cdot e^0 = 24,125\),
\(y(2,5) = (0,5\cdot 6,25 - 6,5 \cdot 2,5 + 13,25)e^{5 + 3} = 0,125 \cdot e^8\).
Остаётся сравнить данные значения: так как \(e > 2\), то \(0,125\cdot e^8 > 0,125\cdot 2^8 = 32 > 24,125\). Итого: \(24,125\) – наименьшее значение функции \(y\) на отрезке \([-1,5; 2,5]\).
Найдите наибольшее значение функции \(y = 0,5x + 0,5\ln(2x^2 + 1) + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\cdot\mathrm{arctg}\, (\sqrt{2}x)\) на промежутке \([-2; 0]\).
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \[y' = 0,5 + 0,5\cdot\dfrac{4x}{2x^2 + 1} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\cdot\dfrac{1}{1 + (\sqrt{2}x)^2}\cdot\sqrt{2} = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{2x^2 + 1}\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{x^2 + 2x + 1}{2x^2 + 1} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1)^2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -1\,.\] Производная существует при любом \(x\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом промежутке \([-2; 0]\):
4) Эскиз графика на промежутке \([-2; 0]\):
Таким образом, наибольшего на \([-2; 0]\) значения функция достигает в \(x = 0\).
\[y(0) = 0 + 0 + 0 = 0\,.\] Итого: \(0\) – наибольшее значение функции \(y\) на промежутке \([-2; 0]\).