Поиск точек экстремума у сложных функций (страница 2)
\(\blacktriangleright\) Сложная функция (композиция двух функций) — это функция \(f=f(x)\), представимая в виде \(f=f(t(x))\), где \(t=t(x)\) – функция, являющаяся “новой переменной” для функции \(f\).
То есть в такой функции можно ввести новую переменную \(t\) так, что функция полностью будет зависеть от этой новой переменной.
\(\blacktriangleright\) Производная такой функции ищется по правилу: \[{\Large{f'(x)=f'(t)\cdot t'(x)}}\]
Примеры:
\(1)\) Функция \(f(x)=\cos {(x^2+1)}\). Если сделать замену \(t(x)=x^2+1\), то функция примет вид \(f(t)=\cos t\).
Найдем \(f'(t)=(\cos t)'=-\sin t=(\text{переход к переменной
}x)=-\sin
{(x^2+1)}\)
Найдем \(t'(x)=(x^2+1)'=2x\)
Значит, \(f'(x)=-2x\cdot \sin{(x^2+1)}\)
\(2)\) Функция \(f(x)=x^3 +x^2\). Для этой функции не существует никакой замены, кроме тождественной (\(t(x)=x\)). Значит она – не сложная.
Ее производную можно найти обычным способом, т.к. она элементарная:
\(f'(x)=3x^2+2x\)
\(3)\) Функция \(f(x)=\sin x^2 + x\). Для этой функции не существует никакой замены, кроме тождественной (\(t(x)=x\)).
Но обычными способами вычислить ее производную не удастся. Заметим, что эта функция представлена в виде суммы двух, причем одна из них сложная (\(g(x)=\sin x^2\)), а другая – элементарная (\(h(x)=x\)).
Т.к. мы знаем, что \(f'=g'+h'\), то найдем в отдельности производные функций \(g\) и \(h\).
Тогда \(f'(x)=2x\cdot \cos x^2 + 1\)
\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).
\[\begin{array}{|r|c|c|}
\hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\
\hline
\textbf{1} & c & 0\\&&\\
\textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\
\textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\
\textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\
\textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\
\textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\
\textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\
\textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex]
\hline
\end{array} \quad \quad \quad \quad
\begin{array}{|r|c|c|}
\hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\
\hline
\textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\
\textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\
\textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\
\textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\
\textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\
\textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex]
\hline
\end{array}\]
Найдите точку локального максимума функции
\(y = 17^{16x - \frac{1}{3}x^3 + 12}\).
1) \[y' = \ln 17 \cdot (16 - x^2)17^{16x - \frac{1}{3}x^3 + 12}.\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \ln 17 \cdot (16 - x^2)17^{16x - \frac{1}{3}x^3 + 12} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 16 - x^2 = 0\] (так как \(17^t > 0\) при любом \(t\)), откуда находим \(x = \pm 4\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 4\) – точка локального максимума функции \(y\).
Найдите точку локального максимума функции \(y = \sin(\cos \pi x)\), лежащую на отрезке \([-2,5; -1,8]\).
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \[y' = \cos(\cos\pi x)\cdot \pi\cdot (-\sin \pi x)\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\cos(\cos\pi x)\cdot \pi\cdot (-\sin \pi x) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} \pi x = \pi n, \quad n\in\mathbb{Z}\\ \cos \pi x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \end{gathered} \right.\] Второе уравнение последней совокупности не имеет решений ни при каких \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, производная равна \(0\) только при \(x = n, \ n\in\mathbb{Z}\). Производная существует при любом \(x\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) (здесь бесконечно много промежутков, знаки производной в которых чередуются):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на \([-2,5; -1,8]\):
3) Эскиз графика \(y\) на \([-2,5; -1,8]\):
Таким образом, \(x = -2\) – точка локального максимума функции \(y\) на отрезке \([-2,5; -1,8]\).
Найдите точку локального максимума функции \(y = \cos(\arcsin(x))\).
ОДЗ: \(x\in [-1; 1]\).
1) \[y' = -\sin(\arcsin x)\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = -\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\] – на ОДЗ.
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная не существует при \(x \in (-\infty; -1]\cup [1; +\infty)\), но эти точки не являются внутренними для области определения.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 0\) – точка локального максимума функции \(y\).
Найдите точку максимума функции \[y=\sqrt{-79-18x-x^2}\]
1 способ.
Заметим, что \[x^2+18x+79=x^2+18x+81-2=(x+9)^2-2\] Следовательно, \(y=\sqrt{-(x+9)^2+2}\). Так как \((x+9)^2\geqslant 0\), то \(-(x+9)^2+2\leqslant 2\).
Заметим, что при \(x<-9\) функция \(y(x)\) является возрастающей, так как при увеличении \(x\) значение \(y(x)\) также растет. А при \(x>-9\) функция является убывающей. Следовательно, \(x=-9\) – точка максимума.
2 способ.
Найдем производную функции.
\[y'=(\sqrt{-79-18x-x^2})'\cdot (-79-18x-x^2)'=\dfrac
1{2\sqrt{-79-18x-x^2}}\cdot (-2x-18)\] Найдем нули производной: \[y'=0\quad\Rightarrow\quad x=-9\] Заметим, что \(x=-9\) подходит по ОДЗ (\(-79-18x-x^2\geqslant 0\)). Найдем знаки производной справа и слева от точки \(x=-9\):
Таким образом, по определению точка \(x=-9\) является точкой максимума.