Нахождение длины окружности и площади круга (страница 2)
\(\blacktriangleright\) Длина окружности равна \(\large{C=2\pi R}\), а в градусной мере составляет \(360^\circ\).
\(\blacktriangleright\) Длина дуги окружности равна \(\large{C_{\alpha}=\dfrac{2\pi R}{360}\cdot \alpha}\), где \(\alpha\) – угол в градусах, задающий данную дугу (центральный угол, опирающийся на дугу).
\(\blacktriangleright\) Площадь круга равна \(\large{S=\pi R^2}\).
\(\blacktriangleright\) Площадь сектора круга равна \(\large{S_{\alpha}=\dfrac{\pi R^2}{360}\cdot \alpha}\), где \(\alpha\) – угол в градусах, задающий данный сектор.
Точки \(O_1\) и \(O_2\) – центры окружностей, изображенных на рисунке. Найдите площадь закрашенной фигуры \(AO_1BCO_2DEA\), если \(AO_1 = \frac{2}{\sqrt \pi}\).
Из рисунка видно, что \(AO_2 = 2\cdot AO_1 = \frac{4}{\sqrt \pi}\). Закрашенную фигуру разобьем на две фигуры: \(AO_2DEA\) и \(O_1BCO_2O_1\). Первая является половиной круга радиуса \(AO_2\), а вторая является сектором круга радиуса \(AO_1\), который задан углом \(90^\circ\). Тогда площадь закрашенной фигуры можно найти как сумму площадей составляющих ее фигур: \[S_{AO_1BCO_2DEA} = \frac{\pi\cdot\left(\frac{4}{\sqrt\pi}\right)^2}{2} + \frac{\pi\cdot\left(\frac{2}{\sqrt\pi}\right)^2}{4} = 9.\]
Две равные окружности пересекаются так, как показано на рисунке. Найдите длину внешней границы полученной фигуры, если длина окружности равна \(12\).
Соединим центры окружностей друг с другом, а также центр каждой окружности с точками пересечения окружностей друг с другом. Можно выделить два равносторонних треугольника, стороны которых равны радиусам окружностей. Дуга одной из окружностей, расположенная во внутренней области образовавшейся фигуры, опирается на угол равный двум углам равностороннего треугольника, то есть на угол равный \(120^\circ\), а значит ее длину можно найти из следующего соотношения: \(\frac{C_{120^\circ}}{12} = \frac{120^\circ}{360^\circ}\) \(\Rightarrow\) \(C_{120^\circ} = 4\). Тогда длина \(L\) внешней границы пересекающихся окружностей может быть найдена: \(L = 2\cdot C - 2\cdot C_{120^\circ} = 2\cdot12 - 2\cdot 4 = 16\).
Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны \(\dfrac 4{\sqrt{\pi}}\) и \(\dfrac
2{\sqrt{\pi}}\).
Для того, чтобы найти площадь кольца, нужно из площади большего круга вычесть площадь меньшего круга: \[S=\pi\cdot \left(\dfrac 4{\sqrt{\pi}}\right)^2- \pi\cdot \left(\dfrac 2{\sqrt{\pi}}\right)^2= \pi\cdot \left( \dfrac{16}{\pi}-\dfrac4{\pi}\right)=12\]
