Параллелограмм и его свойства (страница 2)

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена: \(S=ah\). Тогда \(h=S:a\). Следовательно, чем больше \(a\), тем меньше \(h\) (при фиксированном \(S\)). Таким образом, большая высота равна \[h=\dfrac{40}5=8\]

В параллелограмме противоположные углы равны, а прилежащие к одной стороне в сумме дают \(180^\circ\). Следовательно, пусть \(x\) – некоторый угол параллелограмма, тогда второй равен \(x+70^\circ\). Так как они не могут быть противоположными, то они прилежащие к одной стороне, следовательно, \[x+x+70^\circ=180^\circ\quad\Rightarrow\quad x=55^\circ\] Тогда больший угол параллелограмма равен \(x+70^\circ=125^\circ\).

Пусть длины сторон треугольника \(ABC\): \(AB, BC, CA\) равны \(a, b, c\) соответственно, тогда периметр треугольника \(ABC: P_{ABC} = a + b + c\). Найдем сторону \(EF\): из условия известно, что \(EF\parallel AB, DE\parallel AC, DF\parallel BC\), тогда можно заметить, что четырёхугольники \(ABCF\) и \(ABEC\) – параллелограммы, т. к. стороны этих четырёхугольников попарно параллельны. По свойству параллелограмма противоположные стороны попарно равны, а значит, что \(AB=FC=CE\Rightarrow EF = 2\cdot a\), аналогично доказывается, что: \[DE = 2\cdot c, DF = 2\cdot b\Rightarrow P_{DEF} = 2\cdot (a+b+c) = 2\cdot P_{ABC} = 12.\]

В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей – точка \(O\), тогда \(AO + BO = 0,5(AC + BD) = 5 = AO + OD = OD + OC = OC + OB\).

Таким образом, периметр каждого из треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм \(ABCD\), равен полусумме диагоналей параллелограмма \(ABCD\) плюс сторона параллелограмма, которая является стороной этого треугольника.

Тогда наименьшим будет периметр того из этих треугольников, стороной которого является одна из меньших сторон параллелограмма и равен он \(5 + 2 = 7\).

Т.к. треугольник равнобедренный и прямоугольный, то его углы при гипотенузе равны по \(45^\circ\). Квадрат образует с гипотенузой углы \(\angle GFC = 90^\circ\) и \(\angle DEF = 90^\circ\), а значит, что треугольники \(DBE\) и \(GFC\) – равнобедренные прямоугольные, т.к. \(\angle BDE = 45^\circ, \angle FGC = 45^\circ\). Пусть сторона квадрата равна \(a\), тогда длину гипотенузы можно выразить через сторону квадрата: \[BC = 3\cdot a = 9\Rightarrow a = 3.\]

По свойству параллелограмма: диагонали точкой пересечения делятся пополам, т.е. \(BO = DO, AO = CO.\) \[P_{BOC} = BC + BO + CO, P_{COD} = CD + DO + CO \Rightarrow P_{BOC} - P_{COD} = BC - CD = 2.\] Пусть \(BC = x\), тогда \(CD = x - 2\), подставим эти выражения в формулу периметра: \[BC + AD + CD + AB = x+x+(x-2)+(x-2) = 12\Rightarrow x = 4.\]

Пусть \(AB = a, BC = b\), в прямоугольнике все углы прямые, тогда по теореме Пифагора: \[\sqrt{a^2 + b^2} = 8.\] Найдем сторону \(EF\): т.к. \(E\) и \(F\) – середины сторон \(AB\) и \(BC\), то \(BF = \dfrac{b}2, EB = \dfrac{a}2\), тогда \(EF = \sqrt{\dfrac{a^2}4 + \dfrac{b^2}4}\), аналогично находятся остальные стороны, которые равны. Найдем периметр: \[P_{EFGK} = 4\cdot \sqrt{\dfrac{a^2}4 + \dfrac{b^2}4} = 2\cdot\sqrt{a^2 + b^2} = 2\cdot AC = 16.\]