Ромб и его свойства (страница 3)
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).
Свойства ромба:
\(\blacktriangleright\) Те же, что и у параллелограмма:
\(\sim\) Противоположные стороны попарно равны;
\(\sim\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
\(\sim\) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\);
\(\blacktriangleright\) Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.
Признаки ромба.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – ромб:
\(\blacktriangleright\) все стороны равны;
\(\blacktriangleright\) диагонали взаимно перпендикулярны и он является параллелограммом;
\(\blacktriangleright\) диагонали являются биссектрисами углов и он является параллелограммом.
Площадь ромба
1. Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула площади. Таким образом, площадь ромба равна произведению высоты на основание, к которому эта высота проведена.
2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Диагонали ромба относятся как \(4:3\). Периметр ромба равен \(200\). Найдите высоту ромба.
Отрезок \(HK\) – высота ромба. Так как \(AB\parallel DC\) и \(HK\perp AB\), то \(HK\perp DC\).
1 способ
Так как диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, а у равных треугольников высоты, опущенные к равным сторонам, равны, то \(OK=OH\).
Рассмотрим \(\triangle AOB\). Так как \(AC:BD=4:3\), то также \(AO:BO=4:3\). Пусть \(AO=4x, BO=3x\). Следовательно, \(AB=\sqrt{(4x)^2+(3x)^2}=5x\).
Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна \(200:4=50\), следовательно, \(5x=50\) и \(x=10\).
Высота прямоугольного треугольника \(AOB\), опущенная из вершины прямого угла \(O\), равна \(AO\cdot OB:AB\), следовательно, \[OK=\dfrac{4x\cdot 3x}{5x}=\dfrac{12}5x=24\quad\Rightarrow\quad HK=24\cdot 2=
48\]
2 способ
Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна \(AB=200:4=50\). Следовательно, площадь ромба равна \(S=50HK\) (произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне).
Так как \(AC:BD=4:3\), то можно принять \(AC=4a, BD=3a\). Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то \(S=0,5\cdot
4a\cdot 3a=6a^2\), следовательно, \[50HK=6a^2\quad\Rightarrow\quad HK=\dfrac3{25}a^2\] Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то по теореме Пифагора из \(\triangle AOB\): \[\left(\dfrac32a\right)^2+(2a)^2=AB^2\quad\Rightarrow\quad a^2=400\] Следовательно, \[HK=\dfrac3{25}\cdot 400=48\]
Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна \(\sqrt3\), а острый угол равен \(60^\circ\).
\(\angle A=60^\circ\).
Проведем диагональ \(BD\). Пусть \(AC\cap BD=O\). Докажем, что \(AC\) – большая диагональ.
Так как в ромбе, как и в параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, то \(AO=0,5AC, DO=0,5BD\). Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов и взаимно перпендикулярны, то \(\angle DAO=30^\circ\), \(\angle AOD=90^\circ\) и соответственно \(\angle ADO=60^\circ\). В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, следовательно, \(AO>DO\), значит, \(AC\) – большая диагональ.
Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(DO=0,5AD=\frac{\sqrt3}2\). Тогда по теореме Пифагора: \[AO=\sqrt{(\sqrt3)^2-\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)^2}=\dfrac32 \quad\Rightarrow\quad AC=3\]
Найдите высоту ромба, сторона которого равна \(\sqrt3\), а острый угол равен \(60^\circ\).
\(AD=\sqrt3\), \(\angle A=60^\circ\). Следовательно, \(\angle ADH=30^\circ\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(AH=0,5AD=\frac{\sqrt3}2\). Тогда по теореме Пифагора: \[DH=\sqrt{(\sqrt3)^2-\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)^2}=\dfrac32\]
