Равнобедренные и равносторонние треугольники (страница 3)
Основные теоремы:
\(\blacktriangleright\) Вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают \(180^\circ\): \(\alpha +\beta =180^\circ\).
\(\blacktriangleright\) Сумма внутренних углов треугольника равна \(180^\circ\): \(\alpha+\beta+\gamma =180^\circ\)
\(\blacktriangleright\) Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: \(\phi=\alpha+\beta\)
\(\blacktriangleright\) Биссектриса треугольника – отрезок, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам.
\(\blacktriangleright\) Высота треугольника – отрезок, выходящий из вершины угла под углом \(90^\circ\) к противолежащей стороне (или ее продолжению).
\(\blacktriangleright\) Медиана треугольника – отрезок, выходящий из вершины угла и делящий противолежащую сторону пополам.
\(\blacktriangleright\) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
В треугольнике \(ABC\): \(AB = BC\), внешний угол при вершине \(B\) равен \(138^{\circ}\). Найдите \(\angle C\). Ответ дайте в градусах.
Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle A + \angle C = 138^{\circ}\).
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle A = \angle C\).
Таким образом, \(\angle C = 138^{\circ} : 2 = 69^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 39^{\circ}\), \(BD\) – биссектриса, \(\angle ABD = 30^{\circ}\). Найдите \(\angle C\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(BD\) – биссектриса, то \(\angle ABD = \angle DBC\), тогда \(\angle ABC = 2\cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}\).
Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABC = 180^{\circ} - 39^{\circ} - 60^{\circ} = 81^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 27^{\circ}\), \(CD\) – биссектриса, \(\angle ACD = 35^{\circ}\). Найдите \(\angle A\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(CD\) – биссектриса, то \(\angle ACD = \angle DCB\), тогда \(\angle ACB = 2\cdot 35^{\circ} = 70^{\circ}\).
Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle ACB = 180^{\circ} - 27^{\circ} - 70^{\circ} = 83^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(AD\) – биссектриса, \(\angle B = 27^{\circ}\), \(\angle CAD = 18^{\circ}\). Найдите \(\angle ADC\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(AD\) – биссектриса, то \(\angle BAD = \angle CAD\), тогда \(\angle BAC = 2\cdot 18^{\circ} = 36^{\circ}\).
Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle C = 180^{\circ} - \angle B - \angle BAC = 180^{\circ} - 27^{\circ} - 36^{\circ} = 117^{\circ}\).
\(\angle CAD + \angle ADC + \angle C = 180^{\circ}\), тогда \(18^{\circ} + \angle ADC + 117^{\circ} = 180^{\circ}\), откуда находим \(\angle ADC = 45^{\circ}\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 90^{\circ}\), \(BD\) – биссектриса, \(AB = BC\), \(AC = 6\). Найдите \(BD\).
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой, тогда \(DC = 0,5\cdot AC = 3\).
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle DCB = \angle BAC = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}\).
Так как \(BD\) – биссектриса, то \(\angle DBC = =\frac12 \angle
ABC=45^{\circ}\), то есть в треугольнике \(DBC\) углы при основании \(BC\) равны, тогда треугольник \(DBC\) – равнобедренный и \(BD = BC =
3\).
В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CD\) – высота, \(AC = BC\), \(AB = 33\). Найдите \(CD\).
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой, тогда \(BD = 0,5\cdot AB = 16,5\).
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle DBC = \angle BAC = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}\).
Так как \(CD\) – биссектриса, \(\angle DCB = 45^{\circ}\), то есть в треугольнике \(DCB\) углы при основании \(BC\) равны, тогда треугольник \(DCB\) – равнобедренный и \(CD = BD = 16,5\).
В треугольнике \(ABC\): \(CD\) – биссектриса, \(\angle B = 63^{\circ}\), \(\angle ACD = 33^{\circ}\). Найдите \(\angle ADC\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(CD\) – биссектриса, то \(\angle ACD = \angle DCB\), тогда \(\angle ACB = 2\cdot 33^{\circ} = 66^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle ACB = 180^{\circ} - 63^{\circ} - 66^{\circ} = 51^{\circ}\).
\(\angle A + \angle ACD + \angle ADC = 180^{\circ}\), тогда \(51^{\circ} + 33^{\circ} + \angle ADC = 180^{\circ}\), откуда находим \(\angle ADC = 96^{\circ}\).
