Векторы на координатной плоскости
\(\blacktriangleright\) Пусть в прямоугольной системе координат \(Oxy\) даны точки \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\).
Тогда вектор \(\Large{\overrightarrow{AB} \ \{x_2-x_1;y_2-y_1\}}\)
(из координат конца необходимо вычесть координаты начала).
\(\blacktriangleright\) Длина вектора \(\overrightarrow{AB}\) равна длине отрезка \(AB\).
\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два вектора, необходимо сложить их соответствующие координаты:
если \(\Large{\overrightarrow{a}\{x_1;y_1\}, \overrightarrow{b}\{x_2;y_2\}, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c} \Rightarrow \overrightarrow{c}\{x_1+x_2;y_1+y_2\}}\).
Аналогично с разностью.
\(\overrightarrow{MN}\) имеет координаты \((6; 12)\), а \(\overrightarrow{NK}\) имеет координаты \((9; 8)\). Найдите длину \(\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{NK}\)
Первая и вторая координаты разности векторов есть разность их первых и разность вторых координат соответственно.
\(\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{NK}\) имеет координаты \((6 - 9; 12 - 8)\), тогда его длина равна \(\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5\).
Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow{MN} (0; 4)\) и \(\overrightarrow{PQ} (3; 5)\).
Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) = 0\cdot 3 + 4\cdot 5 = 20\).
Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow{MN} (-1; -1)\) и \(\overrightarrow{PQ} (3; 8)\).
Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) = -1\cdot 3 + (-1)\cdot 8 = -11\).
Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow{MN} (-\pi\cdot\ln a; 7)\) и \(\overrightarrow{PQ} (0; 3)\), если \(a = 18\).
Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) = -\pi\cdot\ln a\cdot 0 + 7\cdot 3 = 21\).
Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow{MN} (\ln (a^2 + 1); a^2)\) и \(\overrightarrow{PQ} (0; 0,5)\), если \(a = 3\).
Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) = \ln (a^2 + 1)\cdot 0 + a^2\cdot 0,5 = 9\cdot 0,5 = 4,5\).
Найдите угол между векторами \(\overrightarrow{MN} (6; 2)\) и \(\overrightarrow{PQ} (-1; 3)\). Ответ дайте в градусах.
Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) = 6\cdot (-1) + 2\cdot 3 = 0\).
Если скалярное произведение векторов равно \(0\), то они перпендикулярны, тогда угол между \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{PQ}\) равен \(90^{\circ}\).
Найдите синус угла между векторами \(\overrightarrow{MN} \left(3\sin\dfrac{\pi}{4}; 3\cos\dfrac{\pi}{4}\right)\) и \(\overrightarrow{PQ} \left(3\sin\dfrac{\pi}{12}; 3\cos\dfrac{\pi}{12}\right)\).
Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче
\[\begin{aligned} (\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) &= 3\sin\dfrac{\pi}{4}\cdot 3\sin\dfrac{\pi}{12} + 3\cos\dfrac{\pi}{4}\cdot 3\cos\dfrac{\pi}{12} = 9\left(\sin\dfrac{\pi}{4}\cdot\sin\dfrac{\pi}{12} + \cos\dfrac{\pi}{4}\cdot\cos\dfrac{\pi}{12}\right) =\\ &= 9\cos\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{12}\right) = 9\cos\dfrac{\pi}{6} = 9\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}\]
Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. \[|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{\left(3\sin\dfrac{\pi}{4}\right)^2 + \left(3\cos\dfrac{\pi}{4}\right)^2} = 3, \qquad\qquad |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{\left(3\sin\dfrac{\pi}{12}\right)^2 + \left(3\cos\dfrac{\pi}{12}\right)^2} = 3.\] Тогда \[|\overrightarrow{MN}|\cdot |\overrightarrow{PQ}|\cdot \cos(\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{PQ}) = 9\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\Rightarrow\qquad 9\cdot \cos(\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{PQ}) = 9\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\Rightarrow\qquad \cos(\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{PQ}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\] тогда \(\sin(\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{PQ}) = \pm\dfrac{1}{2}\), но угол между векторами не меньше \(0^{\circ}\), но меньше \(180^{\circ}\), тогда \[\sin(\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{PQ}) = 0,5.\]
Тема «Векторы на координатной плоскости» достаточно подробно рассматривается в рамках школьного курса учащихся старших классов. Однако практика показывает, что, сталкиваясь с нетипичным заданием, выпускники часто теряются и не могут быстро найти правильный ответ.
Чтобы задачи, в которых требуется построить векторы на координатной плоскости, не вызывали сложностей при написании профильного уровня ЕГЭ по математике, необходимо понять, как они решаются.
Вместе с образовательным порталом «Школково» подготовка к прохождению аттестационного испытания будет легкой и качественной! Сайт поможет учащимся выявить пробелы в знаниях и успешно справиться с аттестационным испытанием.
Чтобы разобраться в теме «Координаты вектора на координатной плоскости», рекомендуем вначале вспомнить весь базовый материал. Он представлен в разделе «Теоретическая справка». Учащиеся смогут освежить в памяти основные теоремы, свойства координат вектора, определение скалярного произведения векторов и другие понятия, которые помогут при решении заданий ЕГЭ.
Для того чтобы закрепить усвоенный материал, мы рекомендуем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач по теме «Векторы на координатной плоскости», а также по правилам сложения и вычитания векторов представлена в разделе «Каталог». Для качественной подготовки к ЕГЭ лучше всего переходить от простых упражнений к более сложным. В каждом задании на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ.
Практиковаться в выполнении задач выпускники из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем.
