Решение уравнений (страница 2)

Данное уравнение равносильно \[x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n\quad {\small{\text{и}}} \quad x_2=\dfrac{3\pi}4+2\pi m,\quad n,m\in\mathbb{Z}.\]


Видим, что в первой четверти лежит только серия \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n\). Найдем наименьший положительный корень, решив неравенство: \[\dfrac{\pi}4+2\pi n>0 \quad\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac18 \quad\Rightarrow\] наименьшее целое \(n=0\), при котором получаем корень \(x=\dfrac{\pi}4\). Следовательно, в ответ запишем \(\dfrac{\pi}4\div \pi=\dfrac14=0,25.\)

Данное уравнение равносильно \[\pi x=\dfrac{\pi}2+\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac12+n, \quad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительный корень, решив неравенство \[\dfrac12+n>0\quad\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac12\quad\Rightarrow\] наименьшее \(n=0\), откуда \(x=\dfrac12\).

Сделаем замену: \(4x=y\). Тогда уравнение принимает вид простейшего уравнения:

\[\sin y=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &y=\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &y=\pi - \dfrac{\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &4x=\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &4x=\dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}2 n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{\pi}6+\dfrac{\pi}2 k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Заметим, что из первой серии корней \(x_1=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}2 n, n\in\mathbb{Z}\) в промежуток \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\) попадает только корень \(x=\dfrac{\pi}{12}\) при \(n=0\).

Из второй серии корней \(x_2=\dfrac{\pi}6+\dfrac{\pi}2 k, k\in\mathbb{Z}\) в промежуток \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\) попадает только корень \(x=\dfrac{\pi}6\) при \(k=0\).

Сумма этих корней равна \[\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}6=\dfrac{\pi}4\]

Следовательно, в ответ пойдет \(\dfrac{\pi}4\div \pi=\dfrac14=0,25\).

Т.к. косинус – четная функция, то \(\cos(-x)=\cos x\), следовательно, \(\cos \left(\dfrac{\pi}4-3x\right)=\cos\left(3x-\dfrac{\pi}4\right)\).

Сделаем замену: \(3x-\dfrac{\pi}4=y\). Тогда уравнение принимает вид простейшего уравнения:

\[\cos y=\dfrac{\sqrt2}2 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &y=\dfrac{\pi}4+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &y=-\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &3x-\dfrac{\pi}4=\dfrac{\pi}4+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &3x-\dfrac{\pi}4=-\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &3x=\dfrac{\pi}2+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &3x=2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}6+\dfrac{2\pi}3 k, k\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{2\pi}3 n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Из первой серии корней \(x_1=\dfrac{\pi}6+\dfrac{2\pi}3 k, k\in\mathbb{Z}\) в промежуток \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right)\) попадает только корень \(\dfrac{\pi}6\) при \(k=0\).

Из второй серии корней \(x_2=\dfrac{2\pi}3 n, n\in\mathbb{Z}\) в промежуток \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right)\) попадает только корень \(0\) при \(n=0\).

Следовательно, произведение этих корней равно \(\dfrac{\pi}6\cdot 0=0\).

Данное уравнение преобразуется в \[\mathrm{tg}\,\left(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3\right)=\dfrac1{\sqrt3}\]

Заметим, что \(\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3\). Сделаем замену \(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3=y\). Тогда уравнение примет вид простейшего уравнения:

\[\mathrm{tg}\,y=\dfrac{\sqrt3}3 \quad \Rightarrow \quad y=\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Сделаем обратную замену:

\[\dfrac16x+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\quad \Rightarrow \quad \dfrac16x=-\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x=-\pi+6\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Заметим, что из данной серии корней при \(n=0\) получается корень \(x=-\pi\), который отрицательный, то есть не подходит нам. А вот уже при \(n=1\) мы получаем положительный корень \(x=5\pi\). При \(n\geqslant 2\) корни будут больше \(5\pi\), а при \(n\leqslant -1\) – меньше \(-\pi\). Следовательно, \(5\pi\) – наименьший положительный корень.

Следовательно, в ответ нужно записать \(5\pi\div \pi=5\).